数论与有限域.pptVIP

第五章 有限域的概念 通过前面的学习，我们已经知道对于给定的两个整数a和b，利用带余数除法一定会找到一个整数q以及一个非负整数r，使得a=qb+r，在后面的学习过程中，还会发现，这个规则对于多项式，高斯整数等也是成立的。于是，人们为了将这样一大类的研究对象进行统一处理，引入了一个新的概念－欧氏环。如此，就可以在欧氏环中做我们所熟知的除法，因子分解等等，许多的结论我们不必再分别对整数，多项式，高斯整数等一一验证，只要知道是欧氏环，那么相应的结论就是正确的。 类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大的数学家迦罗瓦，阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些理论加以高度概括，提炼出来的结果－称之为近世代数又称之为抽象代数。和我们已经接触到的经典代数中的初等代数、高等代数和线性代数不同，其研究对象不再是代数方程和线性方程组，而是代数系统。 定义设S是任意一个集合，并记S×S×…×S为所有有序对(s1, s2,…, sn)，si?S，1≤i≤n，所构成的集合，则称由S×S×…×S到S的映射为集合S上的（n元）代数运算，并称由集合S以及定义在集合S上的一个或多个代数运算构成的系统为代数系统或代数结构。 在这个定义中，要求有序对(s1, s2,…, sn) ?S×S×…×S的像必须在集合S中，即运算要满足封闭性。 例如，由整数集合Z以及定义在其上的整数加法运算“+”所构成的系统就是一个代数系统；而由整数集合Z和整数加法运算“+”以及乘法运算“×”所构成的系统也是一个代数系统， 第一节 群 定义5.1.1 设G是定义了二元运算“?”的非空集合，如果在集合G中： ? a, b, c?G，有(a?b)?c=a?(b?c)； 存在一个特殊的元素e，使得? a?G，有e?a=a?e=a； ? a?G，可以找到一个特殊的元素a-1?G，使得 a?a-1=a-1?a=e。 则称{G,?}为群，并称元素e为群{G,?}的单位元，而称a-1为元素a的逆元。 定义5.1.2若对群{G,?}中任意的元素a，b，有a?b=b?a，即运算“?”满足交换律，则称该群为阿贝尔（或可换）群。 第一节 群 例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,×)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+)构成阿贝尔群。 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1，但是对任意的整数a≠1都找不到其对应的逆元。因而(Z,×)不构成群。 第一节 群 例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,×)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+)构成阿贝尔群。 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1，但是对任意的整数a≠1都找不到其对应的逆元。因而(Z,×)不构成群。 第一节 群 例5.1.2 给定由模4的全体剩余类构成的集合Z4={[0], [1], [2], [3]}，则可对Z4定义加法“+”运算：[i]+[j]=[i+j]。该“+”运算可用如下运算表来完全刻划 表5-1 群{Z4,+}中运算表 在如上定义的“+”运算下，{Z4,+}构成群。 第一节 群 例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,×)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与交换律，同时容易验证： 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。 因而(Z,+)构成阿贝尔群。 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1，但是对任意的整数a≠1都找不到其对应的逆元。因而(Z,×)不构成群。 第一节 群 由上述运算表易知 Z4对该加法“+”运算封闭；“+”满足结合律； 由于对任意的元素[a] ?Z4，都有 [0]+[a]=[0+a]=[a+0]=[a]+[0]=[a]， 因而[0]为Z4中的加法零元； 而对Z4中任意的元素[a]，都可以找到Z4中的元素-[-a]，使得 [-a]+[a]=[-a+a]=[0]=[a+(-a)]=[a]+[-a]， 因而Z4中的每个元素都有负元，具体地 [0]的负元是自身，[1]的负元为[-1]=[3]， [2]的负元是[-2]=[2]，[3]的负元为[-3]=[1]。 因而{Z4,+}构