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整数规划(IP)
第四章 整数规划(IP) 整数规划问题; 整数规划模型; 整数规划的割平面算法; 整数规划的分支定界算法; 例题与习题; 4、枚举树 —— 分支、定解、剪枝循环求解二分树(图)。 当枚举树中不再存在活子问题时(枚举树 不能再生长叶问题),根问题最后的上界 及其对应的局部最优解,即为其最优目标 函数值和全局最优解。 5、定界表 ——根问题上界的收敛变化过程表。 (1)关键词:分支、定界、剪枝; (2)特 征: 在枚举子问题的同时,通过极小化 问题最优目标函数值的上界和子问 题目标函数值的下界的比较,排除 部分子问题存在全局最优整数解的 可能(剪枝),从而加快有哪些信誉好的足球投注网站速度。 (3)性 质: 隐式枚举法 (区别于完全枚举法); (三)算法原理 ——分支、定界、剪枝的循环收敛。 二、分枝定界算法步骤 (一)基本符号 (1)L:目前枚举树中,所有问题的下标集合 ; (2)E:目前枚举树中,所有死子问题的下标集合; (3)L-E:目前枚举树中,所有活子问题的下标集合; (4)m:目前枚举树中,所有子问题的最大下标; (5)s:目前枚举树中, 被分支子问题的下标; (6)j:目前枚举树中,分支生成的子问题(Kj)的下标; (7) :根问题(K0)的上界; (8) Zj*:子问题(Kj)的下界. (二)算法步骤(设 K0,非空有界); (1)取 L={0}, E =?, m=0, j=0, =+?, 应用单纯形法求解 (K0’)的最优解为X’0*, 最优值为Z’0*; (2) (Kj’) 的最优解 Xj *是否满足整数约束? 是: 取E=E?{j}, 当Zj* = Zj* 时, 取X*= Xj*, = Zj*; 若j为偶数,转(3), 否则 j= j+1 ,转(6); 否: 确定(Kj) 的下界Zj*; 若j为偶数,转(3), 否则 j= j+1 转(6); (3) 如果Zj* = (j?L-E),则取E=E?{j}; (4) L- E =? ? 是:若 =+?, 则(K0) 无可行解;否则X* , 分别为(K0) 的最优解和最优值, 结束. 否:选择分支问题(Ks): Zs*=Min{Zj*| j?L-E}; 选择(Ks)的分支变量: XBk | bk’?0; (5) 分支: 对(Ks’)分别增添约束条件 XBk =[bk’] 和 XBk =[bk’] +1 增添 2个子问题(Km+1)和 (Km+2),取E=E?{s}, L=L ?{m+1,m+2}, j=m+1,m=m+2; (6) 利用对偶单纯形法求解(Kj’): 若Kj’ =?,取 E=E?{j},当j为偶数,转(3),当j为奇 数 j= j+1 转(6) ; 否则,求得X’j*和Z’j*,转(2). 三、例题与习题 例1:求解下述(AIP): min z = -3x1 - 4x2 s.t. 2x1+5x2 =15 2x1 -2x2 =5 xj=0,整数,j=1,2 例2:求解下述(AIP): min z = -4x1-3x2 s.t. 4x1+ x2 + x3 =56 2x1 +3x2 + x4 =70 xj=0,整数,j=1,2,3,4 4.5 指派问题 引例1: 今有4辆装载不同货物的待卸车,派班员要分派给4个装卸班组,
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