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第十二章习题课 第八节 微分方程的应用 例2 例5 例6 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 解的特征: 2) 有阻尼自由振动情况 小阻尼自由振动解的特征: 大阻尼解的特征: 临界阻尼解的特征 : 例7 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 * 一、物理问题 二、用微元法建模 微分方程的应用 第五章 三、运动路线问题 四、增长问题 五、作战模型 1. 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程(共性) 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件(个性) 初始条件 可能还要衔接条件 2. 解微分方程问题 3. 分析解所包含的实际意义 某些特定问题 一、物理问题 解 由题设条件 衰变规律 绳索仅受 重力作用而下垂, 解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 解 例3 则由牛顿第二定律得 解此方程得 代入上式得 例4 有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经凹镜反射后与旋转轴平行, 求这旋转曲面的方程. 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 解 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球引 力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 代入原方程, 得 两边积分得 利用初始条件, 得 因此 注意到 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力=重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 解 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在弹性力与阻力作用下做往复运动, 初始 求物体的运动规律 坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点 该定解问题为 阻力的大小与 运动速度成正比,方向相反. 建立 方程: 特征方程: 特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 简谐振动 A: 振幅, ? : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定) 方程: 特征方程: 特征根: 小阻尼: n k 这时需分如下三种情况进行讨论: 大阻尼: n k 临界阻尼:n = k ( n k ) 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置. ( n k ) 1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 2)无振荡现象 ; 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求， 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质 体积为B, 海水比重为?, 仪器所受阻力与下沉 速度成正比,比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所 满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . 提示:建立坐标系如图. 质量 m 体积 B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 注意: 量为m, 系. 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量m 体积B 得 二、用微元法建模 例 10 一容器内含有100 升清水, 现将每升含盐量4克的盐水以每分钟5升的速率由A管注入容器, 假设瞬间即可混合均匀, 同时让混合液以同样的速率由B管流出容器(容器内的液体始终保持为100升), 问在任意时刻 容器内溶液的含盐量是多少? 通解为 . 解 例11 一容器内含有100 升盐水, 共含盐 10kg. 现以 3L/min的速度把净水由A管均匀注入容器, 并以2L/min的速度让盐水由B管匀速流出容器，问1h后容器内溶液的含盐量. m=3.91kg 解 由初始条件得 解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 例12 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 ,为了降低车间内空气中