方差协方差相关系数.pptVIP

4.随机变量函数的数学期望 证 例2 例3 已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ) 解 故 例4 求 EY , DY 解 标准化随机变量 为 X 的标准化随机变量. 显然， 仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如： P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 它们有相同 的期望,方差 但是分布 却不同 但若已知分布的类型及期望和方差，常能 确定分布 例5 已知 X 服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 – 2 X , 求 Y 的密度函数 解 例6 已知 X 的密度函数为 其中 A ,B 是常数，且 EX = 0.5 求 A ,B 设 Y = X 2, 求 EY ,DY 解 (1) (2) 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机向量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是下面要讨论的 三、二维随机向量的协方差与相关系数 定义1 设X与Y是两个随机变量，且EX，EY均 为X与Y 存在，则称 的协方差，记作 （一）协方差 1.基本概念 因此,方差是协方差的特例 协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系 2.简单性质 a , b是常数 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 即 可见，若X与Y独立，则 定理1 若随机变量X与Y相互独立，则 定义2 若 ，则称随机变量X与Y 是不相关的。否则称X与Y有(线性)相关关系. 注意：若随机变量X与Y相互独立，则X与Y是 关的，未必有X与Y相互独立。 不相关的；反之若随机变量X与Y是不相 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 若 两两独立,，上式化为 例5 设随机向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2), 独立？X与Y是否线性相关？ (2,0),(0,2)四个点，试判断X与Y是否相互 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . (二) 相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 . 定义3 设(X,Y)是二维随机向量,它们的方差D(X), 在不致引起混淆时，记 为 . D(Y)存在,且D(X)0, D(Y)0,称 证明: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数k,有 D(Y-kX)= k2DX+DY-2k Cov (X,Y )≥0, 定理2 设X与Y是任意两个随机变量,且 存在， 则 这是一个关于k的一个二次多项式,则必有 即 故 [注] X和Y独立时， =0，但其逆不真. 故 = 0 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 由于当X和Y独立时， 定理3 如果随机变量Y是随机变量X的线性函数， 即 从上述定理可以知道：相关系数刻划了X和Y 是描述随机变量X与Y之间线性相关程度,当 X与Y之间具有完全的线性相关.且 称X 与Y 之间存在正相关关系，当 越接近1,认为X 与Y 的线性相关程度越强， X与Y不相关， 间“线性相关”的程度. 称X 与Y 之间存在负相关关系，当 越接近0，则认为X与Y的线性相关 反之当 程度较弱。 * * 定义1 设X为离散型随机变量，其概率分布为 如果级数 绝对收敛，则称该级数为 随机变量X的数学期望，记作EX。如果级 数 不是绝对收敛，则称随机变量X 的数学期望不存在。 1.离散型随机变量的数学期望 2.连续型随机变量的数学期望 定义2 设X～ ，如果广义积 分 绝对收敛，则称该积分为 随机变量X的 是绝对收敛，则称随机变量X的数学期 数学期望，如果广义积分 不 望不存在。 也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的积分. 常见随机变量的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 3.数学期望的性质 设 均为常数,则有: 性质2 性质1 性质3 性质4 性质5 性质6 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 定理1 设随机变量Y是随机变量X的函数 且EY存在，则 (1) 若随机变量X是离散型的, （2）若随机变量X是