旋转体的体积计算.pptVIP

第七节 旋转体的体积计算 * 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积. 教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 1.旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 取积分变量为 x 例1. 求由曲线 ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形 解 绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. o y x 由旋转体的体积公式,得 如图, 选x为积分变量 例2. 求由曲线 ,直线y = 1及y轴所围成的图形 解 分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 绕 x 轴旋转体的体积, 如图, 选x为积分变量 o y x 绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量 求星形线 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积 . 解 由旋转体的体积公式，知： 例4 例5 体积微元 解 右半圆弧方程为 左半圆弧方程为 环体体积为 2.平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体位于 过点x=a, x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间， 从而 用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数， x 取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 过其端点作垂直 x 轴的平面， x x+dx 作体积微元： x x+dx [x , x+dx] ， 以A(x) 为底，dx 为高作柱体， 用微元法： 解 取坐标系如图 底半圆方程为 截面面积 立体体积 例6