保险精算之利息理论第二章讲义.ppt

第二章 年金 年金的定义 年金的定义：年金就是按照相等时间间隔支付的款项。 年金的标准形：我们将付款时间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期利率不变且计息频率与付款频率相等的年金称为年金的标准型。 年金的各种变化形式称为年金的一般型。 2.1年金的标准型 2.11 期末付年金。 定义：在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。（延付年金） 常用公式 例: 一项年金在20年内每半年末付500元，利率为半年计息的年名义利率9％，求此年金的现值。 例 计算年利率为6％的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。 例 甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息的年名义利率为7％，计算每次的支取额度。 2.1.2期初付年金 定义：在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。 比较期末付年金和期初付年金 对于延付年金，i是期末支付利息的度量； 对于初付年金，d是期初支付利息的度量。 常用公式 期末付年金与期初付年金的关系 例 某银行客户想通过零存整取方式在1年后获得10000元，在每月利率为0.5％的情况下，每月初需存入多少钱，才能达到其要求。 2.13任意时刻的年金值 延期年金：以当前时刻为0时刻点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。 一般的，有三种时刻的年金值需要计算。 （1）首期付款前某时刻的年金现值。 （2）最后一期付款后某时刻的年金积累值。 （3）付款期间某时刻的当前值。 例如：如图 方法一、如果把第1期末看作初始时刻，则从第1期末到第6期末的现金流可以看作标准期末付年金。 方法二、如果把第2期末看作初始时刻，则从第2期末到第7期末的现金流可以看作标准期初付年金。 方法三、把该年金看作两个延付年金的差，或初付年金的差。 2.14永续年金 例 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人B，第二个10年将每年的利息付给受益人C，二十年后将每年的利息付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7％，确定三个受益者的相对受益的比例。 解：10万元每年产生的利息是7000元。 2.23连续年金：付款频率无限大（连续付款）的年金。 连续年金的积累值 例2－23 例2－24 有两个还款模型A、B。A每期还款额为2，还款期限为20年，B每期还款额为3，还款期限为10年，求使A、B模型等效的 从现值的角度看，B、C、D受益比例近似为49％，25％和26％。 * * 1 0 1 1 2 3 n-1 n 1 1 1 付款额 时间 1 0 1 1 2 3 n 1 1 0 箭头1表示第一次付款的时刻，箭头2表示最后一次付款以后的一个时期。 n-1 初付 延付 积累值 现时值 永久年金 有限年金 年金 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 *