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一、弧微分 三、曲率圆与曲率半径 设曲线方程为 例 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 例 求摆线 * * * * 曲 率 曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a? b)内具有连续导数? 在曲线y?f(x)上取固定点M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向? s0 s0 有向弧段 的值 M M0 ( 显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x)? 对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称弧)如下? s 的绝对值等于这弧段的长度? 当有向弧段 M M0 ( 的方向与曲线的正向一致 时s0? 相反时s0? 弧微分公式 设x? x?Dx为(a? b)内两个邻近的点? 它们在曲线y?f(x)上的对应点为M? N? 并设对应于x的增量Dx? 弧 s 的增量为Ds. 因为当Dx?0时? Ds ~ MN? 又Dx与Ds同号? 所以 由此得弧微分公式: 曲率演示 曲线弯曲的程度 . 看同一条曲线 二、曲率 M1 M2 M3 . M1 M2 M3 ?? M1 M2 M3 ?? ??′ 曲线弯曲的程度 与切线转角??成正比 A B B′ 1 .与切线转角??成正比 ?S′ 2 .与曲线弧长?S成反比 ?S 故定义曲线AB平均曲率 ?? = A′ ) y x o （ 设曲线C是光滑的， （ 定义 曲线C在点M处的曲率 2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 例 计算等边双曲线xy?1在 点(1, 1)处的曲率. 曲线在点(1? 1)处的曲率为 因此y?|x?1??1? y??|x?1?2? 解 例 证 如图 （ （ 在缓冲段上, 实际要求 定义 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 注意: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 例 ? ? 解 如图,受力分析 视飞行员在点o作匀速圆周运动, O点处抛物线轨道的曲率半径 ? ? 得曲率为 曲率半径为 即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力. 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 满足方程组 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 椭圆在 处曲率最大, 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 练习 * * * * 运行时, 点击按扭 “摆线”可用动画显示摆线与摆线的渐屈线的生成, 演示结束自动返回.