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华长生制作 第六章 曲线拟合的最小二乘法 /函数平方逼近初步 内积与内积空间 1.正交函数族与正交多项式 定义 若f(x),g(x)∈C[a,b], ρ(x)为[a,b]上的权函数且满足:????????  则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交。 若函数族 ψ0(x), ψ1(x), …, ψn(x), … 满足关系?????????  则称{ψk(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族。 例如，三角函数族 1 ,cosx , sinx , cos2x , sin2x , … 就是在区间 [-π, π] 上的正交函数族。 定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项式， ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列 满足关系式: 则称为多项式序列 为在[a,b]上带权ρ(x)正交，称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。 只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)： 构造出正交多项式序列? 。 2.勒让德多项式 定义 当区间为 [-1,1], 权函数 ρ(x) ≡1 时, 由{1,x,…,xn ,…}正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre) 多项式,并用 P0(x),P1(x)，…，Pn(x)，… 表示。 这是勒让德于1785年引进的。1814年罗德利克(Rodrigul) 给出了简单的表达式： 由于(x2 -1)n 是2n次多项式，求n阶导数后得到??????  于是得首项 xn 的系数 显然最高项系数为1的勒让德多项式为:?????? 勒让德多项式有下述几个重要性质： 性质1. 正交性 性质2.奇偶性 pn(-x)=(-1)n pn (x) (8) 性质3.递推关系??????(n+1)pn+1(x)=(2n+1)xpn(x)-npn-1(x) (n=1,2,……) (*) 由p0(x)=1，p1(x)=x，利用 (*) 就可推出pn(x)的 表达式: 性质4. pn(x) 在区间[-1，1]内有n个不同的实 零点。 最小二乘法方法评注 曲线拟合的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。 6.2 函数拟合(最小二乘法) 在科学和工程研究当中，常得到一族离散数据 要建立连续模型，即确 定函数关系是y=f(x). 方法一：构造插值多项式P（x）满足插值条件（过点） 方法二： 曲线拟合 Problem: 已N个离散数据 ， 求一个简单函数 能最好反映这些点的总趋势。 （不过点） 问题的提法 定义平方误差(偏差平方和): 我们选取的度量标准是 ---------(2) ---------(3) 使得 用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式. 确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关. 通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图, 确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果. 注 三、法方程组 由 可知 因此可假设 因此求最小二乘解转化为 二次函数 由多元函数取极值的必要条件 得 即 ---------(4) 即 引入记号 则由内积的概念可知 ---------(5) ---------(6) 显然内积满足交换律 方程组(4)便可化为 ---------(7) 将其表示成矩阵形式 -----(8) 并且其系数矩阵为对称阵. 根据Cramer法则,法方程组有唯一解 即 是 的最小值 所以 因此 作为一种简单的情况, 基函数之间的内积为 平方误差 用多项式作拟合函数的法方程组为 实例：考察某种纤维的强度y与其拉伸倍数x的关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录: 实例 纤维强度随拉