曲面的.pptVIP

第三节 曲面的第二基本形式 4.曲率线,曲率线网 (1).曲面上的曲线,如果它每一点的切方向都是主方向,则称为曲率线. 两族正交的曲率线组成曲面上的曲率网. (2).曲率线,曲率网的微分方程为: (3).P.98.选择适当的参数,可使曲率线网成为曲纹坐标网. (4).曲纹坐标网是曲率网的充分必要条件是F=M=0. [例.P.99.] 例4.旋转曲面的曲纹坐标网是曲率线网. 例5.球面和平面上的点都是脐点,每个方向都是主方向,每一条曲线都是曲率线. 九.曲面的主曲率,高斯(Gauss)曲率和平均曲率 1.曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率.(也就是沿曲率线方向的法曲率) 2. 曲纹坐标网是曲率网时的法曲率: 3.欧拉(Euler)公式 设θ为方向du:dv与u-曲线(δv=0)的夹角,则 这个公式称为欧拉公式. 4.欧拉公式反映了任意方向的曲率与主曲率之间的关系. 5.在脐点处kn=k1=k2. 6.[P.101.命题6]曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值. 证:设k1,k2是两个主曲率,不妨设k1≤k2 , 由Euler 公式kn = k1 cos2θ+k2sin2θ = k1 cos2θ+ k2(1 - cos2θ) = k2 + (k1 - k2) cos2θ; 所以k2 -kn = (k2 - k1) cos2θ≥ 0, 即k2≥ kn,同理可证kn≥ k1, 即k1≤ kn≤ k2. 7.主曲率的计算 方法一: 由P.96.公式(2.35)-(2.35)’’求出主方向,然后代入法曲率公式即得. 方法二: 解主曲率方程求得. 由罗德里格定理可推导出主曲率方程 8. * 第三节 曲面的第二基本形式 一.曲面与切平面的距离 在曲面S : r = r(u,v) 上的给定点P(u, v),该点处的切平面记为П. 曲面S 上的曲线(c): r = r(u(s),v(s)) 经过点P. 而P’是曲线(C)上与P邻近的一点. P,P’的径矢分别是r(s),r(s+△s).则 设n为曲面在点P的单位法矢量. 则P’到切平面的有向距离为 二 .曲面的第二基本形式 Ⅱ= 注:1.第二基本形式的几何意义: 近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍. 2.第二基本形式不一定是正定的,当曲面在给定点向n的正向侧弯曲时为正,反之为负. 3.第二基本形式、第二类基本量的另一表现形式 【例1】对平面, 因法向量n为常向量, 所以Ⅱ = -dn dr = 0. 对中心径矢为r0, 半径为a的球面, 因其单位法矢量n = (r - r0) /a 或n =- (r -r0) /a , 于是Ⅱ = -dn dr =±dr2/a =±I/a. 【例2】容易验证平面r(u,v) = {u,v,0}与圆柱面r(u, v) = {cos u,sin u, v}具 有相同的第一基本形式du2 +dv2, 但平面的第二基本形式II =0 , 而圆柱面的第二基 本形式II = -du2, 这表明它们在空间中的形状完全不同 三.曲面的法曲率 1.曲面上曲线的曲率 在引入曲面的第二基本形式时, 我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢程度来决定. 但是在给定点处, 曲面沿不同方向的弯曲程度不同,也就是说沿不同方向曲面以不同的速度离开切平面. 因此当我们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲性时, 就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究, 并由此引进法曲率的概念, 以起到承上启下的作用. 曲面S : r = r(u,v) 上的给定点P(u, v), 曲面S 上的曲线(c): r = r(u(s),v(s)) 经过点P. 曲线的曲率 只反映曲线弯曲程度的大小.为了反映弯曲的方向,以曲面在点P的法向量为参照,考虑: 2.法曲率 注:1. 法曲率含有反映曲线弯曲程度的曲率项, 又含有反映曲面弯曲程度的第二基本形式, 因此, 法曲率把曲线与曲面的弯曲性联系起来, 为我们利用曲线来研究曲面的弯曲程度提供了方便. 2.当点P给定后,法曲率完全由方向du:dv所决定. 3.若两曲线在点P 相切,则它们在切点处(切方向)所对应的法曲率也一样. 4. ① 法曲率的绝对值反映了曲面在一点沿一方向的弯曲程度; ② 法曲率的正负号反映了曲面在一点沿一个方向的弯曲方向, 具体地说 当kn 0 时, C0 向着n的方向弯曲,S 朝n的方向弯曲; 当kn 0 时, C0 背向n的方向弯曲,S 朝n的反向弯曲. 3.曲率,曲率半径,法曲率,法曲率半径 4.法截面: 曲面上点P处方向d