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机械振动基础 Mechanical Vibrations 第3章 自 由 振 动 3.1 数学基础 3.2 单自由度系统 3.3 二自由度系统 3.4 多自由度系统 3. 1 数学基础 （自学） 二阶齐次常系数线性微分方程的解 二阶齐次常系数线性微分方程组的特征值 特征方程 矩阵基础 矩阵定义 矩阵相等 方阵 矩阵行列式 对称矩阵 对角矩阵和单位矩阵 行矩阵和列矩阵 矩阵的迹 转置矩阵 例 题 一单自由度阻尼—弹簧—质量系统受到的x0=Awn初速度激励。求：当(1) ζ=2.0 (2)ζ=1.0(3)ζ=0.2三种情况下的振动位移与时间的关系曲线。A为常数，ωn是系统的固有频率。 例2 一刚体质量为10kg，用一块橡胶和一层毛毡支承在地板上，如图所示。毡的刚度kf＝12000N／m，阻尼系数Cf＝330N·s／m;橡胶刚度kr＝3000N／m,阻尼系数Cr=100N·s／m．求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。 * * 主讲：周瑞平 胡 义 二零零七年十月 能源与动力工程学院 热能工程系 矩阵运算 加和减 数乘矩阵 矩阵相乘 矩阵的代数余子式和伴随矩阵 矩阵的逆 矩阵的特征值和特征向量 令 得到特征方程 代入初始条件 记 有 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 1 振动微分方程的解 方程的解： 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 例 3-3 弹簧质量系统 建立广义坐标x如图所示，原点在系统静平衡时位置，向下为正。 振动微分方程 : 1 振动微分方程的解 初始条件： ∴ 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 由于振动分析中运用了数学工具,因此建立广义坐标时坐标原点和方向是重要的,尤其对于系统响应的求解,不同的广义坐标下响应的表达式不同. 例 3-3 弹簧质量系统 建立广义坐标x1如图所示，原点在系统静平衡时位置，向上为正。 振动微分方程 : 1 振动微分方程的解 初始条件： ∴ 不同的广义坐标下系统响应的表达式不同。 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 2 振动特性 简谐振动 固有频率 固有圆频率 固有频率 周期 振幅与相位 只与系统本身元件的参数有关 初始条件 系统参数 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 常力不影响系统的固有频率 2 振动特性 固有频率计算方法 静变形法 能量法 运动微分方程法 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 2 振动特性 固有频率计算方法 例 3-4 运动微分方程法 静变形法 能量法 设 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 2 振动特性 例 3-5 求系统的响应 初始位移10-3m 初始速度10-2m/s 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 2 振动特性 例 3-5 求系统的响应 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 2 振动特性 例 3-5 求系统的响应 ∴ 3. 2 单自由度系统-无阻尼系统的振动特性 1 振动微分方程的解 令 得到特征方程 有 临界阻尼系数 阻尼比或阻尼因子 定义 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 1 振动微分方程的解 讨论 (1) 方程的解 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 注：在电器仪器中，常利用过阻尼抑制仪表指针振动 1 振动微分方程的解 讨论(2) 方程的解 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 1 振动微分方程的解 讨论 (3) 方程的解 方程的解 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 1 振动微分方程的解 讨论 (3) 方程的解 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 衰减振动：指系统受初始扰动后不再受外界激励作用，因受阻尼力造成能量损失而振幅渐减的振动，也称为阻尼振动。 2 振动特性 过阻尼 ξ1： 衰减运动 临界阻尼 ξ=1： 衰减运动，在初始扰动下回零时间最短 （系统是否振动的分界线） 弱阻尼 ξ1： 振幅按指数衰减的准周期振动 ξ=0 ξ1 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 例 3-6 已知系统振动微分方程其中m=1kg,k=100N/m,初始条件x(0)=0.01m 求阻尼系数c1=25N.s/m,c2=20N.s/m,c3=5N.s/m三种不同情况下系统的响应,并用简图表示响应随时间变化的规律。 3. 2 单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性 3. 3 二自由度系统-无阻尼系统振动微分方程组的解 展开行