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第四章 杆件的变形计算 本部分主要内容: 拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形 第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角 第四章 杆件的变形计算 作业 （4）确定积分常数 由边界条件 代入上面两式 （5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程 （6）求B点的挠度和转角 在自由端 ， x = l 例4-6(教材75页例4-5) 如图所示，简支梁受集中力F 作用，已知EI 为常量。试求B 端转角和跨中挠度。 （1）求约束反力 FA FB （2）列出弯矩方程 AC段 CB段 （3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算 FA FB （3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算 AC段 CB段 FA FB 利用边界条件和连续条件确定四个积分常数 AC段 CB段 边界条件: 连续条件: 由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。 即 代入上面的式子 FA FB 得到转角方程和挠度方程 AC段 CB段 （5）求指定截面处的挠度和转角 若 通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。 在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。 用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材78~79页表4-2计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。 第五节 用叠加法求梁的弯曲变形 例4-7 求图中所示梁跨中点的挠度及 A 点的转角。已知 ，梁的抗弯刚度EI 为常数 。 = + 例4-8 如图，梁的左半段受到均布载荷q 的作用，求 B 端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI 为常数 。 考虑其变形: 由于CB 段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即C’B’ 仍为直线。根据几何关系可知： 由于在小变形的假设前提下 查表: 代入上面的计算式 在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。 类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。 一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。 材料力学 Mechanics of Materials Cease to struggle and you cease to live. 生命不止，奋斗不息 直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长 纵向应变 由胡克定律 得到轴向拉压变形公式 第一节 拉压杆的轴向变形 公式的适用条件: 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。 横向也会发生变形 横向应变 通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系 泊松比 泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系 例题4-1 (教材70页) 如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。 1）求出轴力，并画出轴力图 2）求伸长量 mm 伸长 缩短 缩短 例4-2 节点位移问题(教材70页) 如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 40 kN。