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I II 例：求平面图形的形心主惯性轴方位和形心主惯性矩。 10 120 10 80 y z 计算 Iy、Iz 和 Iyz 计算形心主惯性轴方位和形心主惯性矩 23.7 o y0 z0 4.2 弯曲正应力 二、弯曲变形的实验现象与假设 弯曲平面假设：梁的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于梁的轴线。 变形后横线仍为直线且与纵线正交，横线间只是相对转动了一个角度。 纯弯曲时可以观察到： 梁内同时存在弯矩和剪力的弯曲称为横力弯曲，若梁内截面上只有弯矩，则称为纯弯曲。 l a B F a A F FS： F F Fa Fa M： dx 变形后纵线变为曲线，靠梁凸侧的纵线伸长，靠凹侧的纵线缩短，纵线间保持平行。 y z 根据平面假设和材料的连续性假设，梁内必定存在一个纵向纤维长度保持不变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为该截面的中性轴，对称弯曲时中性轴与梁纵向对称面垂直。为分析方便常取截面的中性轴和对称轴建立坐标系。 单向受力假设：梁内各纵向纤维之间无挤压，仅受轴向拉力或压力。 4.2 弯曲正应力 三、弯曲正应力 考虑静力学关系 EIz 称为弯曲刚度 dx z 轴(中性轴)过截面形心，即中性轴就是水平形心轴。 y z y 根据平面假设 由单向应力状态胡克定律 y z FN Mz My dA 4.2 弯曲正应力 四、平面纯弯曲正应力公式的推广 在横力弯曲时，更精确的理论分析和试验结果都表明，对于工程中大多数梁( 跨高比 l/h ≥ 5 即细长梁)，用纯弯曲时导出的公式计算其正应力有足够的精度 Wz 称为抗弯截面系数(截面模量)，m3。 在同一横截面上 一般来说，有 当截面关于中性轴不对称时，最大拉应力和最大压应力数值不相同 y1 y2 y z 在正弯矩作用下： y A* 4.3 弯曲切应力 一、梁纵向截面上的剪力流 剪力流： 横力弯曲中梁横截面上既有弯矩又有剪力,因而横截面上不仅有正应力,还有切应力存在,材料力学由分析梁的纵向截面上的剪力入手,结合切应力互等定理导出梁横截面上的切应力公式。 F F x dx M M+dM Fs Fs dx x y F1 F2 dFs` y z y z Fs b h y 4.3 弯曲切应力 二、横截面上的切应力 矩形截面： 横截面上切应力与截面侧边(剪力)平行 横截面上切应力沿截面宽度均匀分布 由切应力互等定理： τmax 最大切应力发生在中性轴处 弹性力学的研究表明当截面高度大于宽度时，材料力学关于切应力分布的假定是基本正确的。 y 4.3 弯曲切应力 二、横截面上的切应力 圆形截面： 横截面中与中性轴平行的弦上各点切应力指向 y 轴上同一点，且 y 方向分量相等。 同一弦上两端点总切应力最大 最大切应力发生在中性轴处(均匀分布) y z Fs 2R b y z R y y1 dy1 则有： 4.3 弯曲切应力 二、横截面上的切应力 工字形截面： 横截面腹板上切应力分布与矩形截面相同 y t y z b h h0 τmin τmax 工字形截面的剪力主要由腹板承担 腹板 翼缘 翼缘 4.3 弯曲切应力 二、横截面上的切应力 工字形截面： 翼缘上垂直切应力分量佷小，通常略去不计 t z b h h0 t1 η fdx dx F1 F2 翼缘上存在与中心线平行的切应力分量，假定沿翼缘厚度均匀分布 翼缘上切应力与中心线平行，沿翼缘线性分布 τmin τmax T 形截面上切应力的分布与工字形截面类似 例：一闭口圆环形截面薄壁梁，横截面如图所示，剪力位于y 轴且方向向下。已知截面的平均半径为R0 ，壁厚为δ，试画截面上弯曲切应力的分布图，并求其最大值。 y z δ R0 FS y 解：对于薄壁截面，假设横截面上切应力沿壁厚均匀分布，且与周边切线平行。 θ θ dx 最大切应力发生在中性轴处 fdx F2 F1 例：求图示矩形截面悬臂梁内的最大正应力和最大切应力，并比较其值( l/h 5 )。 b h l q 解：等截面直梁的最大应力发生在相应内力最大的截面 由应力计算公式： 最大应力所在的截面称为危险截面 具有最大应力的点称为危险点 最大正应力和最大切应力之比： 一般情况下，细长梁的强度由弯曲正应力控制 4.4 关于弯曲应力的讨论 一、关于平面假设 在纯弯曲下平面假设是正确的。但在横力弯曲时，由于横截面上非均匀分布的切应力引起的切应变将使横截面发生翘曲。 对等截面直梁，当梁段内剪力沿轴线为常量，即无分布载荷作用时，各截面的翘曲相同。梁内纵向纤维的长度不会因截面翘曲而改变，故不产生新的正应力。 在分布载荷作用下，各横截面上剪力不同，则各截面的翘曲程度发生变化，从而产生附加的正应力。但只要是跨高比 l/h≥ 5 的细长梁，根据平面假设导出的弯曲正应力公式仍然适用。 4.4 关于弯曲应力的讨论 二、