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* 第十二章 压杆稳定 沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民 第十二章 压杆稳定 §12–1 压杆稳定的概念 §12–3 临界应力·欧拉公式的适用范围 §12–2 压杆临界力的欧拉公式 §12–4 超过比例极限的临界应力 §12–5 压杆稳定的实用计算 §12–1 压杆稳定的概念 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平衡状态的能力称其为稳定性。 轴向受压的等截面直杆称为理想压杆。 干扰力 图示为两端铰支的理想压杆。 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线状态的平衡是稳定平衡。 干扰力 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。 干扰力 压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去稳定，或简称失稳。 压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的临界力，用Pcr表示之。 压杆工作时决不允许失稳。 §12–2 压杆临界力的欧拉公式 x y l 由平衡方程得： （a） 挠曲线近似微分方程为 （b） 将式（a）代入式（b）得 （c） 令 ，得微分方程： l 通解为： 由 x = 0，y = 0；得B = 0，于是 由 x = l，y = 0；得: 若A = 0，则 y≡0，挠曲线为直线，无意义，只能 于是得： 由式 得： 此解最小者为压杆的临界力，但n = 0，Pcr= 0，无意义，故取n = 1。即 这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式。 其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式： 其中? 称为杆的长度系数。 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。 l l 两端铰支 一端固定 一端自由 一端固定 一端铰支 两端固定 l l 约束情况 长度系数 压杆形状 l 1.3l 1.7l 2l （a） （b） （c） 【例12-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。 解： （d）杆临界力最大。 §12–3 临界应力·欧拉公式的适用范围 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。 令 ， i 为截面对中性轴的惯性半径。 引入记号： ? 称为压杆的柔度（或长细比）。 （a）式改写为： 一、临界应力 二、欧拉公式的适用范围 上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即 取?cr= ?P时的柔度值为?P，则有 因此，欧拉公式的适用范围为 式中?P是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为判别柔度。 ?≥ ?P的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有大柔度杆才能用欧拉公式求解。 【例12-2】图示压杆的E=70GPa，?P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。 1.5m P y z 100 40 【解】 因?≥ ?P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为： 【例12-3】图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，?P=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 l P d 【解】 【例12-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，?P=200MPa。试求此压杆的临界力。 1m z y 20 60 P z x o 【解】 1m z y 20 60 P z x o 压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。 压杆临界力为 §12–4 超过比例极限的临界应力 一、超过比例极限后压杆的临界应力 当? ≥ ?P时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应力，当? ﹤?P时，压杆的临界力和临界应力的计算，目前尚没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式计算压杆的临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经验公式。即 式中a，b是与材料性质有关的常数，例如A3钢，a=304MPa，b=1.12MPa。 临界应力必须小于屈服极限，即?cr﹤?s，当?