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一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 * * * 第四节 一、柱面坐标下三重积分的计算 二、球面坐标下三重积分的计算 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分 第九章 规定： 0 x z y M z ? r 0 x z y M(r,?, z) z ? r N x y z (x, y, z) (r, ?, z) ? 柱面坐标和直角坐标的关系 z = z . . 动 点 M(r, ?, z) 半平面P 柱面S ? =常数: r =常数： 平面? z =常数： z x 0 y z M r S ? P ? 柱面坐标系的坐标面 . x z y 0 ? dr r rd? d? z 平面z 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的圆柱面； 平面 z及 z+dz； 柱面坐标下的体积元素 平面z+dz x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz 柱面坐标下的体积元素 . x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? 元素区域由六个坐标面围成： 半平面?及?+d? ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = 柱面坐标下的体积元素 . dV 1 Dxy: z = 0 0 x z y Dxy 例1.计算 1 . 用哪种坐标？ . 柱面坐标 1 0 x z y Dxy 1 先重后单呢？ 0 x z y 1 Dxy Dxy: z = 1 锥面化为: r = z 1 用哪种坐标？ 柱面坐标 例2. . . . . 0 x z y 1 Dxy 1 其中?为由 例3. 计算三重积分 所围 及平面 柱面 成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下 例4. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 0 x z y M(r,?,?) r ? ? N y x z 球面坐标与直角坐标的关系 规定： S r M ? y z x 0 r =常数: ? =常数: 球面S 动点M(r,?,?) 球面坐标的坐标面 球面坐标的坐标面 ? C r =常数: ? =常数: S 球面S 半平面P 动点M(r,?,?) M ? y z x 0 ? P ? =常数: 锥面C . r ? ? dr d? rsin? x z y 0 圆锥面? rd? 球面r 圆锥面?+d? 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d? rsin?d? 球面坐标下的体积元素 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r ? ? dr d? z y 0 d? rd? 元素区域由六个坐标面围成： rsin?d? 球面坐标下的体积元素 . 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r 2 sin? drd?d? dV dV = x z 0 x y a 化为球系下的方程 r=2a cos? . M . r ? ? 例5. a r=2a cos? . M . r ? ? z 0 x y 例6. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 用柱面坐标呢？