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样条函数及次样条插值数值分析
华长生制作 See you next chapter! * * 第二章 函数近似计算的插值法 2.6 样条函数及三次样条插值 2.6 三次样条插值 样条: 是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具. 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 一、三次样条插值函数 定义1. ------(1) 二、三次样条插值构造法 — 三转角方法 ------(2) ------(3) ------(4) 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 第二类(二阶)边界条件: 第三类(周期)边界条件: ------(5) ------(6) ------(7) 加上任何一类边界条件(至少两个)后 一般使用第一、二类边界条件, 即 ------(8) 或 常用第二类边界条件. ------(9) 加以整理后可得 ------(10) ------(11) 由条件 由于以上两式相等,得 ------(12) (12)式称为基本方程组 其中： 如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件: ------(5) ------(5) 基本方程组(12)化为n-1阶方程组 ------(13) 即 将(13)式化为矩阵形式 ------(14) 这是一个三对角方程组 如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件: 由(11)式,可知 ------(15) ----(16) ------(17) ------(18) 与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得 -----(19) (19)式与(14)一样,都是三对角方程组,并且都严格对角占优 可以使用追赶法求解,并且解是唯一的 对于问题要求满足第三类(周期)边界条件 请同学们自己思考 现在回到(10)式 * * * *
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