必修4.1.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象精要.docx

§必修4.1.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，理解φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 2．会用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象． 3．理解并掌握通过对函数y＝sin x的图象进行平移变换及伸缩变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法． 1．ω、φ、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的作用 1）y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sin x图象的关系． y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin x的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个长度单位而得到． 2）y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)图象的关系． y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1ω倍，纵坐标不变而得到． 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0)的图象，可以看作是用下面的方法得到的：先画出y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个长度单位，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 3) 由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换． 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象． 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，再沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象． 两者最大的区别就是平移单位的不同． 2．“五点法”作图 用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象． (1)确定函数的最小正周期T＝2πω； (2)令ωx＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π确定这五个关键点，列表如下： x －φω π2ω π－φω 3π2ω 2π－φω ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π y 0 A 0 －A 0 这五个点为： P1\a\vs4\al\co1(－\f(φω)，0)，P2 (π2ω，A)，P3\a\vs4\al\co1(\f(π－φω)，0)，P4(3π2ω，－A)，P5\a\vs4\al\co1(\f(2π－φω)，0). 其中，P1，P3，P5均为零点(图象与x轴的交点)，P2是最大值点，P4是最小值点，这五个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点． (3)描点，画出函数在一个周期内的图象，再向左、右无限扩展，就得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象． 这里用到了整体代换的数学思想方法，即把ωx＋φ看成一个整体．把函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质问题转化为y＝sin x的性质和图象问题去处理． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 1）y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调递增区间由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2 (k∈Z)求得，单调减区间由2kπ＋π2 ≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2 (k∈Z)求得． 2）y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋π2 (k∈Z)求得，即x＝π2ω(k∈Z)；对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)求得，即x＝kπ－φω(k∈Z)，得对称中心坐标为\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φω)，0)(k∈Z)． 3）当φ＝kπ＋π2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数； 当φ≠kπ＋π2且φ≠kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是非奇非偶函数； 4）在物理学中，y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示简谐运动的运动方程，这时参数A，ω，φ有如下物理意义： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离． (2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间[即函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的最小正周期]． (3)f＝1T＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次数． (4)ωx＋φ叫做相位，当x＝0时的相位φ称为初相． 5）对于y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[1，＋∞)