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《二次函数》复习提纲 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 例：（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　 　） A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限　D．第一、三、四象限 二、二次函数的解析式 （1）二次函数有四种表达形式 ①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。 ②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。 ③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 ④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。 （2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。 （3）二次函数解析式的三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式：（a≠0） 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式（a≠0）。如果没有交点，则不能这样表示。 例:（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　 ）A．　　B．　　C．　D． 三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）， 即当时，。 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 图像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上，0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 例2．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　 　） 　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 例3．（2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　） A． c=3 B． c≥3 C． 1≤c≤3 D． c≤3 五、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数