北京大学量子力学课件8分解.ppt

（5）当 m ? n 时，氦激发态 4 度简并，应该使用简并微扰论。 其中： 由于总自旋波函数 1? 0 、3 ? 1、3 ? 0 、3? -1 是彼此正交归一化波函数，所以，非对角矩阵元 Hi j’ = 0 ，而三重态的对角矩阵元相等，即： H22’=H33 ’=H44 ’，因此解久期方程可得两个根： 作 业 周世勋 《量子力学教程》 7.6、7.8、5.3 补充题： （1）质量为m自旋为?的二全同粒子，同处于宽为a的无限深势阱中。略去二粒子间相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两个能级的简并度。 （2）上题势阱中的粒子若改为三个中子，求体系最低三个能级的能量值和波函数。 （3）由“基本粒子”组成的复杂粒子 如：? 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自 由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类 全同粒子来处理。 偶数个 Fermi 子组成 Bose 子组成 奇数个 Fermi子组成 奇数个 Fermi子组成 （一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理 §7 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 返回 （1）对称和反对称波函数的构成 I 2 个全同粒子Hamilton 量 II 单粒子波函数 （一）2 个全同粒子波函数 III 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为： 验证： 粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为： IV 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系要满足对称性条件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数； 当 i ? j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数 C 为归一化系数 显然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆为 ： V ?S 和 ?A 的归一化 若单粒子波函数是正交归一化的， 则 ? (q1,q2) 和 ? (q2 , q1) 也是正交归一化的 证： 同理： 而 同理： 证毕 首先证明 然后考虑?S 和 ?A 归一化 则归一化的 ?S 同理对 ?A 有： 上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时， 但是下式仍然成立 归一化的 ?S ?A 依旧 因H 的对称性式2成立 （1）Shrodinger 方程的解 上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子H0 不显含时间，则体系 单粒子本征方程： （二）N 个全同粒子体系波函数 （2）Bose 子体系和波函数对称化 2 个Bose 子体系，其对称化波函数是： 1，2 粒子在 i，j态中的一种排列 N 个Bose 子体系，其对称化波函数可类推是： N 个 粒子在 i，j … k 态中的一种排列 归一化系数 对各种可能排列 p 求和 nk 是单粒子态?k 上的粒子数 例: N = 3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态分别记为 ?1 、?2 、 ?3 ，求：该体系对称化的波函数。 I。n1=n2=n3=1 II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0 III。n1=2，n2=1，n3=0。 另外还有 5 种可能的状态，分别是： n1=1，n2=0，n3=2 n1=0，n2=1，n3=2 n1=0，n2=2，n3=1 n1=1，n2=2，n3=0 n1=2，n2=0，n3=1 附注： 关于重复组合问题 从m 个不同元素中每次取 n 个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记为： （m 可大于、等于或小于n ） 重复组合与通常组合不同，其计算公式为： 通常组合计算公式： 重复组合计算公式表明： 从m个不同元素中每次取n个元素的重复组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素中每次取n个元素的普通组合的种数。 应用重复组合，计算全同Bose 子体系可能状态总数是很方便的。 如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从 3 个状态中每次取3 个状态的重复组合问题。 （3）Fermi 子体系和波函数反对称化 2 个Fermi 子体系，其反对称化波函数是： 行列式的性质保证了波函数反对称化 推广到N 个Fermi 子体系： 两点讨论 I。行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式， 因而 ?A 是 本征方程 H ? = E ? 的解. II。交换任意两个粒