sjs1-第一章数学基础(2课时)分解.ppt

相关数学基础 常用数学知识与符号 一、实变函数论 数学分析、实分析、泛函分析 ? 实变函数的内容 二、集合论(Set Theory) 发展： 应用： ?集合的定义 ?集合的表示 ?常用集合 ?集合中的概念 ?集合运算 ?紧支集 三、函数空间 例如： ? 距离空间 3. 平方可积函数空间L2(R)（能量有限空间） ?线性空间 ? Hilbert空间 关于Hilbert空间[定理] 四、基底、正交基、双正交基、框架及紧框架 L2(R)空间的正交分解和变换 （5）双正交基 （6）框架及紧框架 定义： 一个紧框架例子 ?函数空间与变换 * 一、实变函数论 二、集合论 三、函数空间 四、基底、正交基、双正交基、框架及紧框架 ?内积： ?卷积： ? Fourier变换： 逆变换： 起源：十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟，并建立起它的许多分支，形成数学分析 。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。 ? 对连续性和连续函数的性质数没有足够清晰的理解 ? 发现了某些函数的奇特性质： √德国数学家提出了一个由级数定义的函数，这个函数 是连续函数，但是这个函数在任何点上都没有导数； √有些函数是连续的但处处不可微； √有的函数的有限导数并不黎曼可积 ； 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。 数学分析是基础课，讲极限、积分、微分，都是一些比较基础的理论，积分主要讲黎曼积分，涉及实数、复数等。 实分析（实变函数）讲的是实数域（包括高维）上的测度与积分，此处的测度积分主要是勒贝格测度与积分，是一种更广泛的积分。 泛函分析是建立在实变函数基础上的高级分析方法，研究对象是更广泛的一类函数，可以是函数集合对应函数集合，是现代分析的开始。 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。 点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质，如点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等，还要研究分类、结构问题。 ??? 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。 ??? 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分是数的运算，所以在积分时，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 起源： 集合论是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的。 康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展。 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的和公理化体系最为流行。 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现。 在同一时代，美国数学家 L . A. Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果。 还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献。 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的． 具有某种属性的对象总体(通常用大写字母表示，如A，B等)，这些对象称为其元素 (通常用小写字母表示，如x，y等). x是A的元素记为: x?A (读作x属于A) x不是A的元素记为: x?A (读作x不属于A) 集合的基本特性是，对于给定的集合A，任何对象x, x?A与x?A中有且只有一个成立。 （1）列举法 小于10的正奇