位值原理与整数四则运算讲义.doc

位值原理与整数四则运算 很多小学生总是感觉用竖式计算整数的四则运算很抽象，不好理解，这是因为你们一开始学习数学与数的时候，就没有接触到问题的本质—数的位置原理。 1.“数”与“数字”的区别 要研究位值原理,我们得首先搞明白“数”与“数字”的区别。 学了这么多年数学，很多人连“数”与“数字”的区别都还没搞清楚。 什么是数，这个简单，我们从学习数学起就开始跟数打交道了，随便举几个例子：1（一位数）、59（两位数）、9889（四位数）等等都是数。数有一个天然的分类，那就是按位数分类，可分为一位数、两位数、三位数、四位数……。很显然，数的个数是无限的。 什么是数字，很简单，就是我们常说的阿拉伯数字，只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字，即数字的个数就是10个！ 2.数是怎么组成的（数的来历）？ 当我们把物体同数相联系的过程中，碰到的数会越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们。 显然，我们学过的每一个数都是由数字构成的！我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一叫做“十”，10个“十”叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。 显然，使用“满十进一”的计数法加上10个阿拉伯数字，我们可以准确地表示出一切数（整数）！即可以用有限的数字表示出无限的数！数就是这样由数字组成的 举个例子，567这个数字的来历用文字表述下就是5写在百位上，6写在十位上，7写在个位上得来的，用式子表述下就是应该是通过5×100+6×10+7×1得来的。567即表示5个百，6个十，7个1的和。 3.什么是位值原理？ 我们来研究一个三位数222。虽然百位、十位、个位上三个数字都是2，但是这三个2由于所处数位不同，他们所表示的大小也是不相同的（根据数的来历）。百位上的2应该表示200（2个100，即2×100）、十位上的2应该表示20（2个10，即2×10），个位上的2应该表示2（2个1，即2×1）。即222=2×100＋2×10＋2×1。 即同一个数字，由于它在所写的数的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 4.位值原理的作用 位值原理是整数加、减、乘、除四则运算的主要依据。下面我们举例来解剖四则运算竖式计算过程的本质。 例1. 123+345为什么等于468？ 我们都知道123+345=468，怎么算出来的，列加法竖式，然后根据加法竖式的计算法则（个位加个位，十位加十位，百位加百位）得出结果为468。 但是加法竖式计算法则依据是什么？即为什么个位与个位相加，十位与十位相加，百位与百位相加得出的就是两数的和（似乎是废话）？其实依据就是位置原理配合上十进制（也就是数的来历）。 因为123是1写在百位，2写在十位，3写在个位得来，即1×100＋2×10＋3×1得来，表示1个百，2个十，3个一的和。 345是3写在百位，4写在十位，5写在个位得来，即3×100＋4×10＋5×1得来，表示3个百，4个十，5个一的和。 所以求123+345等于多少，根据加法的意义，其实就是求两个加数共含有多少个百，多少个十，多少个1。显然123+345一共有（1+3）个百，（2+4）个十，（3+5）个一，用式子表示下就是123+345=（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1，最后结果是468. （1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1其实就是计算加法竖式时“个位与个位相加、十位与十位相加、百位与百位相加”的运算法则的来由！ 即123+345为什么等于468，加法竖式法则只是表面现象，（1+3）×100+（2+4）×10+（3+5）×1才是结果为468的真正原因！ 所以任意两个数相加，你如果不用列加法竖式去做的话（口算只是将列竖式的过程在心中进行罢了），都可以用（ + ）×100+（ + ）×10+（ + ）×1的形式去做。举个例子，364+225可以这样去做，364+225=（3+2）×100+（6+2）×10+（4+5）×1=589。 以上的计算过程可以简化为： 例1. 364+225 =（3百+6十+4个）+（2百+2十+5个） =（3百+2百）+（6十+2十）+（4个+5个） =5百+8十+9个 =589 例2.485-169 =（4百+8十5个）-（1百