第05章-几何变换分解.pptx

计算机图形学 第5章 几何变换 5.1 二维变换 计算机图形学经常用到基本的二维和三维几何变换，其中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小 5.1.1 平移变换 5.1.1 平移变换 5.1.2 放缩变换 假设将点P(x,y)在x轴方向、y轴方向分别放缩sx和sy倍，得到点P(x,y)，则有 5.1.2 放缩变换 矩阵表示 放缩变换是相对于坐标原点的，当它作用于物体时，不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离。在图中，当sx=sy=1/2时，不仅线段P0P1的长度为P0P1的一半，而且它到原点的距离也为P0P1到原点距离的一半。在放缩变换中，两个方向上的放缩比例sx和sy可以不相等，也可以相等。当sx=sy时，该放缩变换成为象似中心在原点的象似变换。 5.1.2 放缩变换 5.1.3 旋转变换 给定点P(x,y)，其极坐标形式为： 5.1.3 旋转变换 将点P(x,y)绕坐标原点旋转角度?(逆时针为正，顺时针为负)，得到P(x,y)，则 矩阵表示 5.1.3 旋转变换 5.2 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 平移、旋转和缩放的矩阵表示分别为 可是，平移的处理方法(矩阵加法)不同于缩放和旋转(矩阵乘法)，这在进行复合变换时十分不方便 5.2 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 在实际绘图时，常要对图形对象连续做多个变换，例如先平移，再旋转、放大等。这样对该图形上的每个点都要进行复杂的坐标计算，计算量较大。如果只对图形对象进行旋转和放缩两类变换，如先旋转，再放缩，则可以通过首先将两变换合成一个复合变换，将两次运算转换成一次性的矩阵与向量乘法，即 这样，对图形对象上每点做上述变换时，只要用A乘点的坐标就可以了。但如果在变换中再加入平移变换式。变换就不容易合并了。困难来自于平移变换和旋转、放缩变换的表示形式不一样；平移变换为一个矩阵的加法，而旋转和放缩变换为一个矩阵的乘法。为了使得各种变换的表示形式一致，从而使变换合成更容易，所以引入了齐次坐标的概念 5.2 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。n维空间中点的位置向量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量(P1,P2,…,Pn)，且是唯一的。若用齐次坐标表示时，此向量有n+1个坐标分量(hP1,hP2,…,hPn,h)，且不唯一。普通的或“物理的”坐标与齐次坐标的关系为一对多的关系。 点(x,y)的齐次坐标定义为(xh,yh,h)，其中h?0，xh=hx，yh=hy。 从定义中不难看出，只要(xh1,yh1,h1)和(xh2,yh2,h2)对应的元素成比例，即 5.2 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 则它们对应于二维空间中的同一点 事实上，(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线： 该直线上的每一点都对应同一个二维坐标点(x,y)。 这种多对一的映射往往使运算更为复杂，所以通常取(x,y)的齐次坐标为(x,y,1)，即取h=1。以后如不特别指出，齐次坐标指的都是这种意义上的齐次坐标。 当h=0而xh和yh不都为0时，齐次坐标(xh,yh,0)对应二维空间的无穷远点。 5.2.1 平移变换 在齐次坐标下，平移变换可表示为 5.2.2 比例变换 在齐次坐标下，比例变换可表示为 5.2.3 旋转变换 在齐次坐标下，旋转变换可表示为 5.2.4 刚体变换和仿射变换 观察旋转变换矩阵，可以看到他们的左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几个特点： 每个都是单位向量 两个向量之间相互垂直（它们的点积为零） 如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么这些方向量便可位于正x轴、y轴方向 前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j)经矩阵R变换后而得到的。因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵 5.2.4 刚体变换和仿射变换 对于形如下面的变换矩阵，若其左上角的主子式是正交的，那么该矩阵变换保角保长。也就是说，一个单位的正方形经该矩阵变换后仍然是