【PPT】中学数学的逻辑基础.ppt

第四章 中学数学的逻辑基础 中学数学中需要的逻辑主要是形式逻辑。它是研究思维形式及其规律的一门学科。 数学具有严谨性，它的知识体系是通过逻辑演绎方法建立起来的。 历次《中学数学大纲》中规定：培养学生的逻辑思维能力，是中学数学的教学目的之一。《义务教育阶段国家数学课程标准·征求意见稿》中也明确指出：“学会运用数学思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题”，其中的“数学思维方式”就包含着思维策略和逻辑思维。一个人只有具备了逻辑思维能力，才能在学习数学中正确理解知识、掌握知识。 §4·1 数学概念 一、数学概念的意义 概念是反映一类事物的本质属性的思维形式。 这里所指的本质属性是反映事物的内部的联系，是决定事物根本性质的属性，并通过这种属性把一类事物同另一类事物区别开来。概念是从客观事物个体性中抽象出来的。 例如，圆是一类事物，圆的概念揭示了平面内到定点的距离等于定长的本质属性。 数学概念是反映事物的数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。 例如“平行线”这个概念反映了“两条直线共面无公共点”的本质属性。 概念是用语词表达的，数学概念主要表达形式是数学语言或用符号表示的语词，例如“自然数”、“有理数”、“三角形”“方程的解”等数学语词都分别表达着数学概念，而△、=、〈、∩等符号也都表达着数学概念。同一个数学概念可能有不同的语词表达，例如“矩形”又可表达为“长方形”。 数学概念是数学知识中最基本、最重要的知识之一 有了数学概念才可以运用概念进行判断和推理论证. 例如，有了平行线的概念，才能作出关于平行线的命题、推理和证明。 因此，要掌握一门科学，首先要掌握这门科学的概念，可以说，概念是思维的细胞。 二、概念的内涵和外延 每一个概念都有明确的含义， 例如“三角形”这个概念，意味着不在一直线上的三条线段首尾顺次相接的图形，这是三角形这个概念的内涵。 另外，任何一个概念都有所指，即具有某一确定属性的所有对象，这是概念的外延。 如三角形这个概念所指对象包括锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等所有三角形全体。 三、概念间的关系 概念间的关系是指两个概念间的外延关系. 概念的外延可以用集合表示，根据集合间的运算关系，我们来确定概念间的外延关系。 为叙述方便，我们设概念甲、乙、丙的外延集合分别为A、B、C，它们都是非空集合，那么我们可以得到如下几个概念间的关系： 1.相容关系 如果A∩B≠Ф，那么称概念甲与概念乙之间是相容关系. 它们有以下几种情况： （1）同一关系 如果集合A=B，即概念甲与乙的外延完全相同，则称这两个概念是同一关系， 如等边三角形与正三角形两个概念是同一关系。 （2）属种关系 如果集合A B时，即概念甲的外延完全包含概念乙的外延，就称这两个概念是属种关系。这时称外延大的概念甲为属概念，而称外延小的概念乙为种概念。（如下图） 例如平行四边形和菱形这两个概念具有属种关系。 四、概念的定义 1．什么是定义 一般情况下，概念的定义是揭示概念内涵的逻辑方法。 概念的内涵是事物本质属性的反映，给概念下定义，就是用最简明的语言和方式，表达一个概念所反映的事物的本质属性是什么。例如，等腰三角形的定义 2．定义的结构 概念的定义由三部分组成。我们先来看等腰三角形的定义： 等腰三角形就是有两条边相等的三角形 上面的定义采用了“……，就是……”的形式， 如果用“Ds就是Dp”来表示它，这里的DS就称为被定义项，Dp称为定义项，“就是”称为定义联项。 被定义项就是加以明确的概念；定义项是用来明确被定义项的概念；定义联项用来联结被定义项和定义项的词语。 3．下定义的方法 由于一个概念的表达方式不同对应着不同的定义方法，最常见的定义方法是： （1）属种定义法 属种定义法即“属加种差定义法”，这种定义方法用公式表示是： 被定义项=种差+邻近的属概念 （2）外延定义法 揭示概念外延的定义方法是外延定义法。也即明确被定义项概念所反映对象的全体范围。 例如：整数、分数和零统称为有理数。 4．定义的规则 要给一个概念下定义，除了具有其相应的专业知识外，还要遵守下定义的规则。 规则1 定义项与被定义项的外延必须相等。 由于概念的内涵和外延是紧密联系的，只有当定义项与被定义项的外延相等时，才能说明定义项正确揭示了被定义项的内涵。违背了这条原则，就会犯“定义过宽”或“定义过窄”的逻辑错误。 规则2 定义不得循环 这是指定义项不能直接或间接包含被定义项。下定义就是为了明确概念，如果下定义的项直接或间接包含了被定义项，定义项就会依然不明确。这样犯的错误叫循环定义。 如在给两直线垂直下定义时用了直角：“相交成