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中学数学网（群英学科）收集提供 24.1.4 圆周角 在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关. 圆周角 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角有何特点?它们的大小有什么关系?. 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？ 圆周角和圆心角的关系 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. * 一. 复习引入: 1.圆心角的定义? . O B C 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C 辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? C D E C D E C D E C D E ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗? 教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系. （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部． 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A B C ●O A B C ●O A B C ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ●O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 老师期望:你可要理解并掌握这个模型. 老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, ●O A B C 老师提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, A B C ●O A B C ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？ 它们 有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？ 同弧 所对的圆周角相等. (等弧) 思考: 相等的圆周角所对的弧相等吗? 在同圆或等圆中 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 圆周角定理: A B C D 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等. 则 ∠ D=∠A ∴AB∥CD 如图, 若 AC = BD ⌒ ⌒ ●O B A C 解: ∠A = ∠BOC = 25°. A B O C 如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿ 90 度 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。 2.试找出下图中所有相等的圆周角。 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8 3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心角为60度 圆周角为 30 度 或 150 度。 4.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。 例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm