第8章杆系结构的有限元法分解.ppt

第八章杆系结构的有限单元法 结构几何构造的基本知识 杆系结构的有限单元法 杆系结构的有限单元法计算实例 杆系结构单元的位移函数 刚架结构梁单元的位移函数 轴向位移状态的表达和前面一样，现在只考虑节点另外的四个位移分量，根据材料力学，沿梁长各截面的转角为 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的多项式： 杆系结构单元的位移函数 刚架结构梁单元的位移函数 将其代回v(x)的表达式进行整理后 于是： 平面刚架梁单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。 弯曲应变计算示意图 得出平面刚架单元应变 平面刚架梁单元的应力应变 将刚才已经建立的位移函数代入，则应变为 进一步的，应力为 其中，[B] 称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 平面刚架梁单元的有限元方程 采用虚功原理进行推导： 假设梁单元的i，j 结点发生虚位移为 那么单元内会发生相应的虚应变为： 外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等： 上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程。 平面刚架梁单元的刚度矩阵 根据习惯，那么单元刚度为 进行积分运算后得到 A：杆的横截面 面积； I：杆的横截面 对主轴的惯性矩 桁架杆单元的刚度矩阵 如果是桁架结构，那么矩阵形式将比较简单 平面桁架杆单元，每个单元自由度未知量只有两个节点位移 空间桁架杆单元，每个单元自由度未知量也只有两个节点位移， 但是由于空间性，所以每个节点位移会表现为3个分量 空间刚架梁单元的刚度矩阵 当刚架结构扩展到了空间状态，则每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。 空间刚架梁单元的刚度矩阵 杆系结构单元刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。 单元刚度矩阵的物理意义 物理意义：Kij代表在i结点发生单位位移时，j结点需要施加的力。 整体坐标下的单元刚度矩阵 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成 向量转换 于是 整体坐标下的单元刚度矩阵 那么就有 一般简写为 同样的道理 [T]：平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 整体坐标下的单元刚度矩阵 将坐标转换矩阵代入原有限元控制方程，则 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵仍然为对称阵、奇异阵。 整体刚度矩阵的集成 以下图所示的刚架结构为例 刚架实例 其结点载荷列向量分别为 结构载荷列向量： 结点位移列向量 整体刚度矩阵的集成 以下图所示的刚架结构为例 刚架实例 其结点载荷列向量分别为 结构载荷列向量： 结点位移列向量 整体刚度矩阵的集成 其整体的平衡方程为 简写为： 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵的性质 1.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E 等因素有关。 2.为对称方阵 3.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。 4.为稀疏矩阵 约束的处理 建立结构平衡方程式时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。 约束处理常用方法有划0置1法和乘大数法。 （a）固定支座 （b）支座发生位移 对于如图 (a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。对于如图 (b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。 计算实例 设两杆的杆长和截面尺寸相同， 计算实例 第一步：结构离散化 将结构划分为4个结点、3个单元。 * 结构几何构造的基本分类 结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。 造成几何可变的几种原因 结构的计算简图（力学模型） 实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与