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稳定性与鲁棒性基础 Lecture2: 稳定性 稳定性的定义 当一个实际的系统处于一个平衡的状态时（就相当于小球在木块上放置的状态一样）如果受到外来作用的影响时（相当于对小球施加的力），系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的，否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的. 稳定性是系统运行的核心问题. 稳定性的萌芽思想 2000年前 ，汉朝的淮南王刘安 《淮南子?说山训》 ：“下轻上重，其覆必易”； 宋朝沈括在 《梦溪笔谈》中把这种观察到的事实付诸于应用 ，他在《忘怀录》 中指出：“安车车轮不欲高，高则摇” ； 类似稳定，至少可以追溯1500年前到晋书上所述“行人安稳，布帆无恙” ； 西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ，表示坚持、保持的意思； 以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。 稳定性科学概念的发展 18世纪下半叶到19世纪末 ，发生了一些具有深远影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。 J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ，引发了工业革命； J. L. Lagrange 1780年出版 《分析力学》，科学地讨论了平衡位置的稳定性； C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论； J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ，讨论了蒸气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性； A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的?－?，?－N语言； H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出了贡献； G. Peano，I. Bendixson和G. Darboux微分方程解对初值及参数连续依赖性的研究。 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。 两个主要学派 Routh-Hurwitz （1875，1895）通过判断系统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳定； A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文《运动稳定性一般问题》，通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。 稳定性的研究方法 Lyapunov函数法 大概也是迄今为止唯一的纯粹非线性 线性化方法 包括一点线性化，逐点线性化(完全线性化)本质上依赖于系统解析解的方法(仅限于线性系统) 特征值法(极点法) 含时域、频域等 仅适用于定常系统 注意：时变系统(“缓变系统”除外)一般而言：即便是线性的，特征值也毫无意义的 数值仿真法(也属于近似方法) 近似方法(既非必要，也非充分，数学基础也不完善) 描述函数法(谐波线性化方法)，本质上的频域方法 相平面法(仅适用于平面系统(2阶)) BIBO稳定性 假设系统H的描述方程 x(t)∈Rn是系统的内部状态，u和y分别是系统外部输入信号和输出信号，如图 任意输入u，系统H都有一个响应信号y与之对应：y=Hu 从数学意义上，H为输入函数空间U到输出函数空间Y的一个映射或算子 定义：对于算子H：L∞→L∞，若存在两常数γ≥0和b0，使得 成立，则称算子H是BIBO稳定的. 注：1、BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的; 2、不等式(1)并不局限于L∞空间，只要输入在某种范数意义下有界，输出就在同一范数意义下有界. 考察线性系统(A,B,C)的BIBO稳定性 定理2.1 若In(A)=(0,n,0), 则系统 (A,B,C)是BIBO稳定性的 证明：系统(A,B,C)的输出响应表达式为 由于In(A)=(0,n,0), 响应表达式(2)中状态转移矩阵有界，即 对(2)取范数 令 则 小增益定理 增益：描述在由输入到输出的信号传递过程中，系统对信号的强度放大或缩小的一种度量。 控制系统的增益一般用算子范数定义 例：用增益讨论BIBO稳定，系统 系统输出 若存在 ，使得 小增益定理：对于系统H1, H2，如果存在 以及 ，使得 对任意 成立，且 ，则对任意的 小增益定理等价描述：若系统H1, H2的增益 满足 ，则闭环系统是BIBO稳定的。 例：如图，系统φ满足φ(0)=0, 0k1≤φ(y)/y ≤k2