空间中的垂直关系立体几何高考轮数学精品课件.pptVIP

(2)取ＡＤ的中点Ｇ，连结ＢＧ，ＮＧ，则ＢＧ∥ＣＤ， ∴ＢＧ与平面ＡＤＭＮ所成的角和ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所 成的角相等. ∵ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ， ∴∠BGN是ＢＧ与平面ＡＤＭＮ所成的角. 在Ｒt△BGN中，sin∠BGN= . 故ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角是arcsin . 返回目录 考点五 二面角 如图,直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,AC,BC与平面α所成的角分别为30°和45°,求△ABC所在平面与平面α所成的锐二面角. 【分析】由线面角想到射影,利用三垂线定理作二面角的平面角. 返回目录 【解析】作CC′⊥平面α,C′为垂足,作C′D⊥AB 于D,连结CD,∴CD⊥AB,∴∠CDC′是所求二面角的平面角. 由CC′⊥α可知,∠CAC′=30°,∠CBC′=45°,设CC′=h,在Rt△CC′A和Rt△CC′B中,AC=2h,BC= h, 又∵AC⊥BC,∴AB= h, CD=(AC·BC)AB= h, ∴sin∠CDC′= ,且∠CDC′为锐角. ∴∠CDC′=60°, ∴△ABC所在平面与α所成的二面角为60°. 返回目录 【评析】求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A—BD—C的平面角,通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC.其解题过程为:作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→计算∠AOC,简记为“作、证、算”. 返回目录 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分别是AB，PC的中点. （1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小； （2）求证：平面MND⊥平面PCD. ＊对应演练＊ 返回目录 （1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD, ∴PD⊥CD. 故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD, ∴∠PDA=45°. 返回目录 （2）证明:取PD中点E，连结EN，EA，则 EN ∥ CD ∥ AM, ∴四边形ENMA是平行四边形， ∴EA∥MN. ∵AE⊥PD,AE⊥CD, ∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD， ∵MN平面MND， ∴平面MND⊥平面PCD. 返回目录 返回目录 1.判定直线与直线垂直的方法: (1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成的角). (2)根据线面垂直的性质(若a⊥α,bα,则a⊥b). 2.判定直线与平面垂直的方法: (1)若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面（定义）. (2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面(判定定理). (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(推论). (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面. 3.判定平面与平面垂直的方法: (1)若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则两平面垂直(定义). (2)若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（判定定理）. 返回目录 (3)如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直. 4.平面与平面垂直的性质: (1)如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (可以用符号表示为:“α⊥β,α∩β=m,aα,a⊥ma⊥α”) (2)两个平面垂直，则经过第一个平面的一点作第二个平面的垂线必在第一个平面内. (3)两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线必垂直于第三个平面. 返回目录 5.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆. 返回目录 学案5 空间中的垂直关系 返回目录 一、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. 根据定义，过一点