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南海区2012届高三摸底考试 高三(文科)数 学试卷答案 答案： 一、AABDD CCCBC 11. 12. 13.6 14.； 15. （利用三角形相似得到） 三．解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1） ……………….1分 ∴， …………….2分 最大值为1，最小值为－１. ……………….4分 （2）由 ……………..6分 . …………………8分 ……………………10分 = = ……………………..12分 17（本题满分13分） (本小题考查数据分析处理能力，古典概型的计算，考查学生的基本运算 ) 解：(Ⅰ) ----------4分（每个1分） （II）设第5组的3名学生分别为,第1组的2名学生分别为， 则从5名学生中抽取两位学生有：， 共10种可能． ----------5分 其中第一组的2位学生至少有一位学生入选的有： ， 共7种可能， -----------7分 所以第一组至少有一名学生被抽到的概率为. -------------8分 (III) ∵ 得 ………..10分 ……………….11分 所以所得的回归直线方程为：， ……………….12分 ∴估计当=105时，由解得 （小时） …………13分 18（本小题满分13分） （本小题考查学生的空间想象能力，空间中线线、线面的位置关系，化归与转化思想） …..2分 ………………………..4分 ………………………5分 …………………….7分 ………………….9分 …………………13分 …………………13分 19（本小题满分14分） （本小题考查了抛物线的定义，直线与圆的位置关系，运用几何知识解决问题） 解：（Ⅰ）连结MF，依题意知，∴，且MP⊥， MP⊥，∴|MP|是点M到直线的距离． ∵点M在线段FP的垂直平分线上，∴|PM|=|MF|． ………………….4分 故动点M的轨迹E是以F为焦点，为准线的抛物线， ………………..5分 其方程为：．…..7分 （2）设⊙M的圆心M坐标为（）， ……………8分 …………….10分 ∴弦长｜AB｜=2 ………………..13分 即当点M运动时，弦长｜AB｜为定值. ……………….14分 20（本小题满分14分） （本小题考查函数与导数知识，导数的几何意义，运用导数知识解决函数的单调性问题，考查了学生的分类讨论能力） 解：定义域为，……………………….2分 当时，， ∴， ……………………4分 即切点为（） 代入点斜式直线方程得切线方程为：， 即： ……………6分 （2）∵且定义域为， ∴设 （i）当时，即△，此时恒成立， ，. 所以在上为增函数………………….8分 （ii）当时，即△，……………….9分 ， …………….10分 同号………..11分 ①当时，两根同为正数. 所以在上递增， 在上递减. 在上递增…..12分 ②当时，两根同为负数. 所以在上递增. ……..13分 综上：当时，在上递增. 当时，在上递增， 在上递减. 在上递增. ……………….14分 21（本小题满分14分） （本小题在解析几何背景下考查递推数列知识，在数列求和过程中利用放缩法进行不等式的变形，再进行裂项求和；须具备一定的灵活性和数式变形的能力.） 证明：（Ⅰ）⊙的半径为，⊙的半径为， ……………2分 ⊙和⊙两圆相外切，则 ……………4分 即 整理，得 又所以 即故数列是等差数列 ……………6分 （Ⅱ）由（1）得即，