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建筑力学电子教案 重心和形心 工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。 任一物体都由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，其合力即为物体的重量，而此力系的中心则为物体的重心。 §5-1 重心和形心的坐标公式 1. 重心坐标的一般公式 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 右图是一个空间力系，则 P=∑ΔPi 合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理 即 于是有 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 同理有 为确定 zC ，将坐标系连同物体绕y轴转90o ，使重力与 x轴平行，得 2. 均质物体的重心坐标公式 这时物体容重g 是常量，则 于是有 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi O 上式也就是求物体形心位置的公式。即对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi O 3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则 有 V =A·d， ΔVi = ΔAi·d 则 上式也即为求平面图形形心的公式。 §5-2 确定重心和形心位置的具体方法 （1）积分法； （2）组合法； （3）悬挂法； （4）称重法。 具体方法： 1. 积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有 若为平面图形，则 例5-1 用积分法求下列平面图形的形心位置。 b(y) y dy C 2R O x y 解：建立如图所示坐标系，则 xC= 0 现求 yC 。 则 b(y) y dy C 2R O x y 代入公式有 b(y) y dy C 2R O x y 2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。 下面通过例子来说明。 例5-1 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。 y 150 20 x 20 200 O (a) y 150 20 x 20 200 O 1 2 (b) 解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为： A1 =（200-20）×20=3600 x1 = 10 mm y1 = 110 mm A2 = 150×20=3000 150 20 x 20 200 O y 1 2 (b) x2 = 75 mm y2 = 10 mm 由组合法，得到 xC = A1 + A2 A1 x1 + A2 x2 = 39.5 mm C (xC ,yC) 150 20 x 20 200 O y 1 2 (b) yC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2 = 64.5 mm 另一种解法： 负面积法 150 20 x 20 200 O y 1 将截面看成是从200mm×150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而 A1 = 200×150= 30000 mm 2 x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180×130 = -23400 mm2 故 xC = 30000×75 - 23400×85 30000 - 23400 = 39.5 mm yC = 30000×100 - 23400×110 30000 - 23400 = 64.5 mm 两种方法的结果相同。 x2= 85 mm, y2= 110 mm 150 20 x 20 200 O y 1 3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为啥？