復变解析函数与调和函数的关系复级数的概念幂级数.pptVIP

第六讲解析函数与调和函数的关系 一致收敛(定义4.4) 注解： 注解： 注解： 内闭一致收敛： 内闭一致收敛： 定义：设函数序列 在复平面C上的区域D内解析。如果级数 在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么 说此级数在D中内闭一致收敛于f(z) 。 设函数序列 在复平面C上的区域D内解析。如果级数 在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么 我们说此级数在D中内闭一致收敛于f(z)。 定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数? 在区域D内解析，并且级数 在D内闭一致 收敛于函数f(z) ，那么f(z)在区域D内解析，并 且在D内 ? ? 证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0 的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理 因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是 对于 一致收敛于 。由定理4.7，我们有 也就是 因此，定理中关于级数的部分证明结束。 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 §4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 　 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 * * 在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。 内 容 简 介 §3.7 解析函数与调和函数的关系 定义 定理 证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: 定义 上面定理说明： 由解析的概念得： 现在研究反过来的问题： 如 定理 公式不用强记！可如下推出： 类似地， 然后两端积分得， 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。 例1 解 曲线积分法 故 又解 凑 全 微分 法 又解 偏 积分 法 又解 不定 积分 法 1. 复数列的极限 2. 级数的概念 第 四 章 级 数 CH4§4.1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明 2. 级数的概念 级数的前面n项的和 ---级数的部分和 不收敛 ---无穷级数 定义 设复数列： 　 例1 解 定理2 证明 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题。 性质 定理3 证明 ? 定义 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 解 例2 例3 解 练习： 如果任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 时，有 那么我们说级数 在E上一致收敛于f(z) 注解1、和实变函数项级数一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理(定理4.5 )： 柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数 在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 ，p=1,2,3,…时，有 注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上 有定义，并且设 是一