江苏省苏、锡、常、镇四市2014年高三下学期教学情况调查数学[理]试题含解析.doc

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 理科数学 一、填空题： 1.已知集合，，若，则 ▲ ． 2.若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 3.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 ▲ ． 4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2； ，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ▲ ． 5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ▲ ． 6.设函数，若，则的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以.因此本题也可应用函数性质求解，因为，所以 考点：函数性质 7.四棱锥P ? ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ． 8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9.已知，，则的值为 ▲ ． 10.设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ． 11.已知正数满足，则的最小值为 ▲ ． 12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ▲ ． 考点：向量共线表示 13.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ． 【答案】 考点：利用导数研究函数图像 14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ▲ ． 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得圆心半径因为点在圆内，所以，解得设到直线距离为,则又，当且仅当，即时取等号，因此，即或综上实数的取值范围为. 考点：直线与圆位置关系 二、解答题 15.（本小题满分14分） 设函数． （1）求的最小正周期和值域； （2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和． （2）由，得． 为锐角，∴，，∴． …………………9分 ∵，，∴． …………………10分 在△ABC中，由正弦定理得． …………………12分 ∴． …………………14分 考点：倍角公式，正余弦定理 16.（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：∥平面． 17.（本小题满分14分） 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）． （1）求V关于θ的函数表达式； （2）求的值，使体积V最大； （3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由． 【答案】（1），（2），（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． （3）木梁的侧面积=，． =，．…………………10分 设，．∵， ∴当，即时，最大． …………………12分 又由（2）知时，取得最大值， 所以时，木梁的表面积S最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． …………………14分 考点：利用导数求函数最值 18.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标； （3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值． 可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值. 【解析】 试题分析：（1）,（2）,（3）. 试题解析：（1）由已知，得 解得 …………………2分 所以椭圆的标准方程为． …………………3分 19.（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知，且对一切都成立． （1）若λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列． 【答案】（1）an = 2n?1（2）λ = 0. 【解析】 （2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分 要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，，且． 当n≥2时，， 整理，得，，