江苏省苏、锡、常、镇四市2014年高三数学教学情况调查[一]试题附解析.doc

命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体=，其中S是柱体的底面积，h是高． 直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，，若，则 ▲ ． 2．若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 3．已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 ▲ ． 4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2； ，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ▲ ． 5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ▲ ． 6．设函数，若，则的值为 ▲ ． 7． 四棱锥P ? ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ▲ ． 8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9．已知，，则的值为 ▲ ． 10．设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ． 11．已知正数满足，则的最小值为 ▲ ． 12．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ▲ ． 13．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 设函数． （1）求的最小正周期和值域； （2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：∥平面． 17．（本小题满分14分） 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）． （1）求V关于θ的函数表达式； （2）求的值，使体积V最大； （3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由． 18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标； （3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值． 19．（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立． （1）若λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列． 20．（本小题满分16分） 已知函数，其中m，a均为实数． （1）求的极值； （2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； （3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围． 2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9． 10．13 11．9 12． 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）= =． …………………3分 所以的最小正周期为， …………………4分 值域为． …………………6分 （2）由，得． 为锐角，∴，，∴． …………………9分 ∵，，∴． …………………10分 在△ABC中，由正弦定理得． …………………12分 ∴． …………………14分 16．（1）证明：∵ 为菱形，且， ∴△为正三角形． …………………2分 是的中点，∴