第二章运动定律和力学中的守恒律3分解.ppt

* 例2.21　转动着的飞轮的转动惯量为I，在t＝0时角速度为 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当ω＝ 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？ 解　(1)由题知 ，故由转动定律有 即 将 代入，求得这时飞轮的角加速度为 * (2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即 分离变量，并考虑到t＝0时， ，两边积分 故当 时，制动经历的时间为 * 1、转动动能 可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方 乘积的一半。 注意比较 转动动能 平动动能 i质点的动能 ?整个刚体的动能 — 对i 求和 2.6.4 定轴转动的动能定理 * 2、力矩的功 对于i 质点其受外力为 Fi， 对 i 求和，当整个刚体转动d? ，则力矩的元功 式中M 为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零） ∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为 * 3、刚体定轴转动的动能定理： 力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。 * 4、刚体的势能 其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。 质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。 O X Y ? mi M C * 例2.22　如图2.39所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时中心点C和端点A的速度. 解　棒受力如图2.39所示，其中重力G对O轴的力矩大小等于 ，是θ的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动动能定理，有 等式左边的积分为重力矩的功.即 式中 是棒的质心所在处相对棒的质心C在最低点(即棒在竖直位置 处)的高度. * 则中心点C和端点A的速度分别为 将 及 代入①式，得 * 例2.23　如图2.40所示，物体的质量为 ， ，且 ＞ .圆盘状定滑轮的质量为 和 ，半径为 ， ，质量均匀分布.绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑.试求当 下降了x距离时两物体的速度和加速度. 解　以两物体、两滑轮、地球成为一系统， ，故机械能守恒.以 下降 x时的位置为重力势能零点，则有 由于 ，可解得 由于运动过程中物体所受合力为恒力，a为常数， ＝2ax，故有 * 1、对轴的角动量定理 已知质点对轴的角动量定理的积分形式为 可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到 即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。 2.6.5 刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律 * 2、定轴转动的角动量守恒 若 Mz外＝0， 若外力对Ｚ轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对Ｚ轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律。 若为刚体，当角动量守恒时，因I＝常数，则?亦为常数， 这与转动定律是一致的。 * 3、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒 I 可变，ω 亦可变，但仍有Iω=常数，故有 * D:实际中的一些现象 ?开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝相反方向旋转。 艺术美、人体美、物理美相互结合 高！ 高！ 芭蕾舞演员的高难动作 * 4、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量 * 解　以飞轮A，B，啮合器C为系统.在 啮合过程中，系统受到轴向的正压力 和啮合器之间的切向摩擦力.前者对轴 的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩.系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒.即 ω为两轮啮合后的共同角速度，于是 例2.24　在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动.如图2.44所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上.A轮的转动惯量为 ，B轮的转动惯量为 ，开始时A轮每分钟的转速为600转，B轮静止.C为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转速，在啮合过程中