第2章测量误差分析及处理-3分解.ppt

第2章．测量误差分析及处理 2.1 误差的概念 2.2 粗大误差分析 2.3 随机误差分析 2.4 系统误差分析 2.5 测量不确定度 2.6 最小二乘法处理 2.3 随机误差分析 随机误差及测量值服从统计学规律 在测量中，随机误差是不可避免的。 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。 随机误差反映了实际测量的精密度。 多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。 可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。 2.3 随机误差分析(续） ??? 数学期望:反映其平均特性。其定义如下： X为离散型随机变量： X为连续型随机变量： 2.3 随机误差分析(续） 剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差定义为剩余误差或残差： νi = xi－ x 两边分别求和： 当n足够大时，残差的代数和等于零。 当n→∞时，残差即等于随机误差。 2.3 随机误差分析(续） 方差和标准偏差 方差定义为n→∞时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即 因为随机误差δi=xi-Ex，则方差定义为： 标准偏差定义为： 标准偏差反映了测量的精密度，标准偏差小表示精密度高，测得值集中；标准偏差大表示精密度低，测得值分散。 2.3 随机误差分析(续） 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。 2.3 随机误差分析(续） 正态分布的概率密度函数和统计特性 随机误差的概率密度函数为： 测量数据X的概率密度函数为： 随机误差的数学期望和方差为： 同样测量数据的数学期望E(X)＝ ，方差D(X)＝ 2.3 随机误差分析(续） 正态分布时概率密度曲线 2.3 随机误差分析(续） 标准偏差意义 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。 绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小。 超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现。 大小相等符号相反的误差出现的概率相等。 2.3 随机误差分析(续） 测量误差的非正态分布 常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。 均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。 2.3 随机误差分析(续） 极限误差△ 在进行大量等精度测量时，随机误差落在【-3σ，+3σ】区间的测得值的数目占测量总数目的99.7％。因此定义 2.3 随机误差分析(续） 测量结果的置信问题 （1）置信概率与置信区间： 置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。 置信限： k——置信系数（或置信因子） 2.3 随机误差分析(续） 正态分布的置信概率 当分布和k值确定之后，则置信概率可定 正态分布,当k=3时 2.3 随机误差分析(续） 非正态分布的置信因子 由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限 ，即误差的置信区间为 置信概率为100％。 2.3 随机误差分析(续） 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？ 2.3 随机误差分析(续） 规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即： 算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。 2.3 随机误差分析(续） （2）算术平均值的标准偏差 故： 算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。 2.3 随机误差分析(续） （2）有限次测量数据的标准偏差