材料力学-附录解读.ppt

1. 两种坐标的转换 y O x y O K Q P x ? y O K Q P x y? x? ? P? Q? y O K Q P x x? y? x? y? ? P? Q? y O K Q P R S x x? y? ? P? Q? y O K Q P R S x x? y? ? P? Q? y O K Q P R S x 2. 转轴定理 ( rotation-axis theorem ) 数学工具箱 x? y? ? x y 2. 转轴定理 ( rotation-axis theorem ) x? y? ? x y 2. 转轴定理 ( rotation-axis theorem ) x? y? ? x y 转轴定理 x y a b 例 求如图的矩形关于对角线的惯性矩。 在图示的坐标系下， 关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对 x? 轴的惯性矩。 x y a b x? y? ? 例 求如图的矩形关于对角线的惯性矩。 在图示的坐标系下， 关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对 x? 轴的惯性矩。 x y a b x? y? ? x y a b x? y? ? 转轴定理 分析和讨论 将第一式中的 ? 置换为 ，将得到什么结论？ 等于多少？ 上述结果说明了什么？ 转轴定理 使 I y? 取极值的角度 3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ) ? x? y? x y 在什么方位上 I y? 取极值？极值为多大？ I y? 的极值应满足 惯性主方向 3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ) ? x? y? x y 在什么方位上 I y? 取极值？极值为多大？ I y? 的极值应满足 惯性主方向 主惯性矩 3. 惯性主轴 ( principal axes of inertia ) ? x? y? x y 惯性主方向 主惯性矩 当惯性矩取极值时，惯性积的值为多少？ 当惯性矩取极值时，惯性积的值为零。 当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。 当惯性积为零时，相应的惯性矩为极值。 若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴，如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。 图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性矩的极值，并称之为主惯性矩。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。 惯性主轴方位 主惯性矩数值 ? x? y? x y 重要结论 若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形心惯性主轴。 判断图形的形心惯性主轴 分析和讨论 判断图形的形心惯性主轴 例 求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。 在图示的坐标系下， 40 6 40 94 6 6 y x 40 40 94 6 6 y 6 x 40 40 94 6 6 y 6 x y 40 40 94 6 6 6 x 例 求如图的截面的形心惯性主轴的方向和形心主惯性矩。 在图示的坐标系下， 40 6 40 94 6 6 y x 40 40 94 6 6 y 6 x 40 40 94 6 6 y 6 x y 40 40 94 6 6 6 x 求惯性积时，考虑如图的区域 在已知惯性主轴的情况下，如何求主惯性矩？ y 40 40 94 6 6 6 x 40 40 94 6 6 6 y x 40 40 94 6 6 y 6 x 图示的黄色区域的惯性积等于多少？ y 40 40 94 6 6 6 x 40 40 94 6 6 x y x? y? ? 6 x y a a 如图，对于平行于底边的形心坐标系，正方形的惯性矩和惯性积为 例 证明正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。 对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为 故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。 x’ y’ ? 重要结论 如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯性积为零，则该坐标系绕原点旋转任意角度所构成的新坐标系，都是图形的主轴坐标系。 一般地考虑上面的问题 如果 坐标系旋转任意角度 ? ， 对形心轴 C 的惯性矩： b h 例 证明等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。 先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩 对底边轴 G 的惯性矩： 再考虑如图等边三角形的惯性矩 xC yC C a b h G C 对形心轴 C 的惯性矩： 先一般地考虑如图直角三角形的惯性矩 对底边轴 G 的惯性矩： 再考虑如图等边三角形的惯性矩 xC yC C a b h