时域离散信号与系统解读.ppt

* 卷积的性质 3 结合率： * 线性时不变因果离散时间系统的充分必要条件为： 证明：先证明充分性， 若 则 因为 时， 则当 时， 所以 上式说明计算 值时， 只在 区间上取值， 只与现在输入 及以前的输入 有关，而与未来输入 的任何值无关， 因此系统是因果的。 * 现在来证明必要性，采用反证法。 假定一个因果系统的单位样值响应 在 时，至少有一点（不妨设为 ）不为零，即 则 上式中第二项和式中的 ，即 ，根据假设至少存在着一项 ）不为零，这就是说， 至少与 时的一个输入 有关。显然这一结论与系统因果性的定义相矛盾，因此假定不能成立， 即线性时不变因果离散时间系统的单位样值响应 不可能在 时存在非零值，所以有： （ * 线性时不变稳定离散时间系统的充分必要条件为系统的单位样值响应满足下式： 证明：先证明充分性， 若输入有界，则存在着一个足够大的常数M，使得 所以 因为 设 则有 成立， 所以 即线性时不变稳定离散时间系统输入有界则输出也必定有界。 * 证明必要性，采用反证法。 假定一个线性时不变稳定离散系统的单位样值响应不是绝对可和的，即 令 式中 为 显然 是个有界的输入，即 因为 在 时，输出为 前面已经假定 显然这个结论与稳定系统的定义矛盾，因此假定不成立，即线性时不变稳定系统的单位样值响应满足绝对可和条件 的共轭序列 ，这就是说系统输入有界时，系统产生了一个无界的输出 * 已知系统的差分方程为： 系统的初始条件为 输入为 求系统的响应。 差分方程的求解可用递推法，下面通过例题来说明。 离散系统可以用差分方程来描述： 差分方程 * 解：题给 所以只需求出 时的输出响应 而 依次递推 实际上，因 时， ，即 所以这时差分方程可以改写成： 上式说明系统的输出具有等比级数形式，即 这就是差分方程的解。 * 如果将上例中的初始条件改为 其它条件不变，求系统的输出。 解：此题与上一题的要求范围刚好相反，为了求出 时的输出响应，将差分方程改写为： 或 所以有 依此递推下去就得到 注意式中的 * 例如，已知线性时不变离散系统的差分方程为 求系统的单位样值响应。 解：令 则有 即 注意到单位样值响应是指系统零状态下输入单位样值序列时的响应，即有 所以 差分方程的求解 * 如此下去，就可以求得所有输出。 * 离散系统的单位样值响应也可以用另一种方法求解，即将零状态响应转换为零输入响应。离散系统的单位样值响应是系统的零状态响应，但由于系统激励只作用在初始的一定时间内，过后系统激励就变为零。初始时刻的系统激励产生初始值，以后的响应就是初始值引起的零输入响应。 * 典型离散信号 3.正弦序列(sine sequence) A：振幅，? ：初相， ω ：数字角频率， 4.复指数序列（complex exponential sequence） §1 离散时间信号与系统 * §1 离散时间信号与系统 典型离散信号 5.实指数序列 a为实数 a1 -2 -1 0 1 2 3 4 n 0a1 -2 -1 0 1 2 3 4 n -1a0 -2 0 2 4 n -2 0 2 4 n a-1 * §1 离散时间信号与系统 信号的周期性 周期信号是常见的一类信号，什么是周期信号？ 连续时间信号的周期性： 若存在一个正数 使得 则此信号就称为周期连续信号。 离散时间信号的周期性： 若存在一个有限正整数 使得 则此信号就称为周期离散信号 * §1 离散时间信号与系统 序列的周期性 一个连续函数经采样（离散化）后可以得到一个离散序列，即 式中Ts为采样周期。采样周期的倒数就是采样频率，即 一个周期性的连续函数经采样后得到的序列不一定是周期序列。 * §1 离散时间信号与系统 序列的周期性 例如正弦序列可以看成连续正弦信号经采样得到的离散信号，为了简便起见，我们假设正弦信号的振幅为1，初相为零，即： 式中?为正弦信号的模拟角频率。比较正弦序列的定义可以看出，数字角频率与模拟角频率有如下关系： 根据以上关系，数字角频率可以这样来理解：模拟角频率对采样频率取归一化值。 §1 离散时间信号与系统 序列的周期性 根据周期序列的定义来讨论正弦序列的周期性。即是否能找到一个正整数N使得恒等式 成立 。分几种情况讨论 当 为整数时，令 ，则 即这时正弦序列为周期序列，并且 就是最小周期。