(2013海淀一模北京市海淀区2013年高三上学期期中练习 理科数学 含解析.doc

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （理科） 2013.4 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.集合，则 A. B. C. D. 2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为 Ａ.　　　　B.　　 　Ｃ.　　　 Ｄ. 3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为 Ａ. B. C. D. 4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为 Ａ. B. C. D. 5. 若向量满足，则 的值为 A. B. C. D. 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种 7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①，使得是直角三角形； ②，使得是等边三角形； ③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______. 10.等差数列中,, 则 11.如图，与切于点，交弦的延长线于点， 过点作圆的切线交于点. 若，， 则弦的长为_______. 12.在中，若，则 13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____. 14.已知函数，任取，定义集合： ，点，满足. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则 （1）函数的最大值是_____； （2）函数的单调递增区间为________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求的值和的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值. 16.（本小题满分13分） 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； (ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望. 17.（本小题满分14分） 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面; （Ⅲ）求二面角的余弦值． 18.（本小题满分13分） 已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值. 19.（本小题满分14分） 已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （I）求椭圆的方程； （II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围. 20.（本小题满分13分） 设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中. （Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若与重合，一定为偶数； （Ⅲ）若，且，记，求的最大值. 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6