(广东省揭阳一中、潮州金山中学2014年高三下学期期初联考数学理试卷 含解析.doc

2013—2014学年度高三理科数学测试题 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则 (　　)． A．－2i B．－i C．i D．2i 2. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确的是( )． A．若则 B．若则 C．若则 D．若，则 3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）． A．30 B．60 C．70 D．80 4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. ks5u A.14 B.24 C.28 D.48 5. 某程序框图如图 2所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )． A．32 B．24 C．18 D．16 6. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 7. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（ ）． A． 　　　 B． 　　 C． 　　 D． 8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图 3），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为；②是周期函数； ③；④. 其中正确的说法个数为：（　　） A．0 B． C． D． 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答. 9. 已知向量，，若，则实数的值等于 ． 10. 不等式的解集为 ． ks5u11. 设为等比数列的前n项和，，则 . 12. 函数的部分图象如图 4所示，点,，若，则等于 ． 13. 如图 5，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为 ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分. 14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 ． 15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C 是DE延长线上一点，连结BC与圆O交于F，若,,，则________． 三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分） 已知函数且函数的最小正周期为． (1)求的最大值及取得最大值的值； (2)若且，求的值． 17.（本题满分12分） 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且． (1) 求文娱队的人数； (2) 写出的概率分布列并计算． 18.（本题满分14分） 等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙). (1)求证:平面； （2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由. ks5u 19.（本题满分14分） 已知数列满足，． （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，． 20.（本题满分14分） 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q是动圆C2：上一点． （1）求曲线C1的轨迹方程； （2）若点P为曲线C1上的点，直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离｜PQ｜的最大值． 21．（本题满分14分） 已知函数，. （1）若函数在处取到极值,且成等差数列，求的值； （2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值． ks5u 2013—2014学年度高三理科数学测试