最优化问题举例解读.ppt

3.4生活中的优化问题举例 第三章 导数及其应用 一、如何判断函数的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤 （1）确定定义域 （2）求导数f’(x) （3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题. 例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2，上、下两边各空2cm，左、右两边各空1cm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 图3.4-1 分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？ 你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？ 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16cm，宽为8cm时，能使四周空白面积最小。 2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 说明 1、设出变量找出函数关系式； (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。 练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？ 解： 结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。 练习2、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 则两个正方形面积和为 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0xl 由问题的实际意义可知： 问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 规格（L） 2 1.25 0.6 价格（元） 5.1 4.5 2.5 例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ r (0，2) 2 (2，6] f (r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p ∴每瓶饮料的利润： 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 当半径r＞２时，f ’(r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低． 1.半径为２cm 时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 ２．半径为６cm时，利润最大 问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？ R r 例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。 是不是r越小，磁盘的存 储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：存储量=磁道数×每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以 磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量 （1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大. (2)为求 的最大值，计算 令 解得 因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为 由上述例子，我们