2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试卷.doc

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接将答案写在横线上） 1.已知集合，，则= ； 2．图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ； 3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ； 4．已知函数，若关于的方程 有两个不同的实根，则实数的取值范围是 用区间形式表示） 5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是 6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。 7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是 8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 △ABC的外心，则的值是 9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= 10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题（每小题20分，共60分） 11．设若对任意的，等式 +恒成立，试求、的值。 12．如图4,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。 (1).求点的轨迹方程； (2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。 13．已知函数，数列{}、{}满足，，，， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有 (2).若求证：， 第二试 一、数列满足，记 (1)求数列的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)求数列前项和 二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q， 求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三、设. (1).若,求证：是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对,使得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 四、(1)证明：对任意的有；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明：. 参考答案 1.已知集合，，则= ； 2．图1是一个算法流程图，若输入则最终输出的数据是 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，则的最小值为 ； 4．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 用区间形式表示） 5．设是定义在R上的奇函数，，当时，是增函数，且对任意的，都有，则函数在敬意[-3,-2]上的最大值是 6．对于若是3的整数倍，则被6除所得余数构成的集合是 。 7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD周长的最大值是 8．如图3，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为 △ABC的外心，则的值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10．把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题（每小题20分，共60分） 11．设若对任意的，等式 +恒成立，试求、的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12．如图4,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。 (1).求点的轨迹方程； (2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13．已知函数，数列{}、{}满足，，，， (1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2).若求证：，