2009年江苏省高三数学期末试卷分类汇总--导数及其应用.doc

《导 数 及 其 应 用》 一、填空题 1．【江苏·扬州】14．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2【江苏·启东中学】3．若曲w ww.k s5u.c om线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ▲（1，0） ． 3．【江苏·苏北四市】8．曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是▲ . 4．【江苏·苏北四市】13．已知函数是定义在R上的奇函数，， ，则不等式的解集是▲ . 5．【江苏·泰州实验】9．函数的单调减区间为________（0,1）_________． 6．【江苏·盐城】8.设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____▲____. 二、计算题 1．【江苏·无锡】19．（本小题满分16分） 已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：． 解：（Ⅰ）因为， 所以． …………………………3分 因为h（x）在区间上是增函数， 所以在区间上恒成立． 若0a1，则lna0，于是恒成立． 又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna0矛盾． 所以a1． 由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0， 所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分 以下证明． （※） （※）等价于． ………………………11分 令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………13分 r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数． 当x1x2时，r（x1） r（x2）＝0，即， 从而得到证明．……………………………………………15分 对于同理可证………………………………………16分 所以． 2．【江苏·淮、徐、宿、连】 19.(本题满分16分) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值； (3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围. 【解】（1）当时，，当，， 故函数在上是增函数．………………………………………………4分 （2），当，． 若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　……………………………………6分 若，当时，；当时，，此时 是减函数； 当时，，此时是增函数．故 ． 若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．…………………………………8分 综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时， 的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为， 相应的x值为．…………………………………………………………………10分 （3）不等式， 可化为． ∵, ∴且等号不能同时取，所以，即， 因而（）…………………………………………………………12分 令（），又，………………14分 当时，，， 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a的取值范围是． ……………………16分 3．【江苏·启东中学】 20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分） 已知函数,过点P(1,0)作曲线的两条切线PM,PN,切点分别为M,N． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设|MN|=，试求函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值． 【解】（1）当 --------2分 .则函数有单调递增区间为-- 4分 （2）设M、N两点的横坐标分别为、， 同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）---------------6分 由（1）、（2），可得的两根， ------------------------------------------------------8分 把（*）式代入，得 因此，函数 ----------------10分 （3）易知上为增函数， ------------12分 由于m为正整数，. --------------------------------------------------14 分 又当 因此