2010年广东省高中数学竞赛试卷及详解解析.doc

2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题 （考试时间：2010年9月4日上午10：00—11：20） 题号 一 二 合计 1 2 3 得分 评卷人 复核人 注意事项： 1.本试卷共二大题，全卷满分120分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超出装订线。 4.不能使用计算器。 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程在区间上的实根个数为_________________. 2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________. 3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________. 4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________. 6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________. 7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_________________. 8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.（本小题满分16分） 是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？ 2.（本小题满分20分） 求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则. 3.（本小题满分20分） 设非负实数，，满足，求证： 2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 一、填空题 1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根. 2. 易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7. 3.∵， ∴ ， 故所求函数的最大值等于. 4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点. 5. 6. ∵，∴， 即，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线. 7.由二项式定理知，，即被3除余1， ∴，， 故. 8. ∵， ， ∴作商，有，故. 二、解答题 1.解：设交点、的坐标为、，由消去，得 ， 由韦达定理，得， ① ， ② ∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴， ∴， 即，整理，得 ③ 将①②代入③，并化简得，∴， 经检验，确实满足题目条件，故存在实数满足题目条件. 2.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，，其中，由条件知. 由于，，∴且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设 又由于，，∴. 以代替，得，但这与矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数. 3.证明：先证左边的不等式. ∵， ∴ 再证右边的不等式. 不妨设，注意到条件，得 ， 所以， 综上，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m