第三章静电场的边值问题分解.ppt

例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 ?0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。 O d x y ? = 0 ? = 0 ? = ?0 电位满足的拉普拉斯方程变为 解 选取直角坐标系。槽中电位分布与 z 无关，这是一个二维场的问题。 应用分离变量法，令 为了满足 及 ，Y(y) 的解应为 槽中电位满足的边界条件为 因为 y = 0 时，电位 ? = 0，因此上式中常数 B = 0。 为了满足 ，分离常数 ky 应为 求得 已知 ，求得 可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为 式中的常数 C 应为零？ 那么 式中的常数 C = AD 。 求得 因 x = 0 时，电位 ? = ?0 ，得 上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的线性组合作为电位方程的解。 为了满足 x = 0，? = ?0 ，由上式得 即 O d x y ? = 0 ? = 0 ? = ?0 利用傅里叶级数的正交性，求出系数 Cn 为 求得槽中电位分布函数为 电场线 等位面 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为 令 求得 上式中只有第二项为变量? 的函数，因此将上式对? 求导，得知第二项对? 的导数为零，可见第二项应为常数。 令 即 式中的 k? 为分离常数，它可以是实数或虚数。 令 ，m 为整数，则上式的解为 考虑到 ，以及上式，则前述方程可表示为 变量? 的变化范围为 ，因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k? 一定为整数。 上式第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因此，它们应为常数。 式中的分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数、双曲函数或指数函数。 式中的C, D 为待定常数。 当kz为实数时，可令 令 将变量 z 的方程代入前式，得 若令 ，则上式变为 上式为标准的贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数，即 式中， 为 m 阶第一类贝塞尔函数； 为m阶第二类贝塞尔函数。当r = 0 时， 。因此，当场区包括 r = 0 时，只能取第一类贝塞尔函数。 J2(x) J1(x) J3(x) J0(x) 第一类贝塞尔函数 x N3(x) N1(x) N0(x) N2(x) 第二类贝塞尔函数 x 至此，我们分别求出了R(r) ,?(?) , Z(z) 的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。 若静电场与变量 z 无关，则 。那么电位微分方程变为 此方程的解为指数函数，即 若又与变量? 无关，则 m = 0。那么，电位微分方程的解为 考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 例 设一根无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试求导体圆柱外的电场强度。 x y a E0 O 解 选取圆柱坐标系。令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与 x 轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z 无关。 x y a E0 O 解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。 ① 圆柱表面电场强度的切向分量为零。 求得 ② 无限远处的电场未受到扰动。 此式表明，无限远处电位函数仅为cos? 的函数。 即 因此 * * 第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。 1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法 1. 电位微分方程 已知电位 ? 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为 那么，电位满足的微分方程式为 泊松方程 拉普拉斯方程 对于无源区， ，上式变为 已知分布在V? 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为 上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉