第三章原子物理分解.ppt

再把式子 对t取一阶微商，得到 所以代表能量E的算符是 再由式子 可以得到 —— 哈密顿算符 哈密顿算符可记为 这个算符只包含空间变量，不包含时间。所以将它作用于 ，就得到 这也就是定态的薛定谔方程。 一般来说，在量子力学中有关微观粒子运动的每个力学量都可用一个算符来表示。下面列出一些与常见力学量对应的算符。 ① 位矢所对应的算符就是r本身，这表示以r相乘的运算。 ② 只与坐标有关的势能 ，其算符就是 ③ 动量算符： ④ 动能算符： ⑤ 能量算符：哈密顿量 ，则 ⑥ 角动量算符：（见书上P124） 三、本征方程、本征函数和本征值 如果一个算符作用到一个函数后，等于一个常数乘以这个函数，则称这个方程为该函数的本征方程。这个函数为算符的本征函数，常数称为算符的本征值。 例如，定态薛定谔方程 该方程称为本征方程，E称为哈密顿算符的本征值， 称为哈密顿算符的本征函数。 假设粒子处于某一量子态 。当测量这个粒子的力学量时，往往得不到确定的结果。但有的力学量可以。如力学量 在 态有数值A，则称 是 的本征函数，相应的本征值是A。这样必有 。 若一个本征值只对应一个本征函数，则称这个本征函数所表示的状态是非简并的；否则就是简并的。 一个粒子可以有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量A的本征态，则测量A时将得到确定值，若在A的本征态测量另一个力学量B时，就不一定能得到确定值。如果有，那么它们具有共同的本征态。 如果两个算符对易，那么这两个算符可以具有共同的本征函数，而且它们所代表的力学量在它们共同的本征函数所描述的状态中，可以同时有确定值； 如果两个算符不对易，那么它们就没有共同的本征函数，则不能同时有确定值，而要满足不确定关系。 §3.7、氢原子的薛定谔方程解 氢原子问题是用薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构问题。 在氢原子中，电子在原子核的库仑场中运动，这体系的势能是 与时间无关，可以求出定态的波函数。 取 则 对有心力场，采用极坐标比较方便。 这个微分方程的解可以表达为三个函数的乘积： r的函数R， 的函数 ， 的函数 分离变量得 上式中，左侧只与r 有关，右侧只与 和 有关，因此，要两边相等，只能都等于一个常数，定为 则 同理，第二个式子也可以分为两个方程，常数定为 三个式子分别是R、 和 的微分方程，可以分别解出 此式要求 是单值的，也就是 ，N为整数。这就要求式中的 也为整数，改用m表示为 解得 m称为磁量子数 显而易见，波函数 是算符 的本征函数： 或者 即角动量在z方向的投影大小 这样，前面的式子要改写为 l称为轨道角动量量子数。 这是二阶微分方程，有两个线性无关的解。数学的分析可以知道，要使 为有限值，只有当 ， 为正整数或零，而且 时，其中一个解才有限。 是连带（缔合）勒让德（Legendre）函数，可以按下式算得， 这样合乎要求的解为 此式合乎波函数条件的解是 现在讨论第一个式子的解。要求 取特殊值 ， 。那么该式必须改为 是连带的拉盖尔（Laguerre）多项式，它的具体形式决定于参数n和l，可以按照下式算出 至此，三个方程的解已经算出，通过归一化条件分别把A，B，C三个常数算出后， 就全部算出了，这是氢原子各定态的本征函数。主量子数n，角量子数l和磁量子数m标志了原子所处的状态。 总角动量的本征值 总角动量L在z轴方向的分量 也取量子化 l和m是联系着总角动量及其在z轴上的分量的两个量子数。对于每一个l值，有2l+1个m值。 至此，对氢原子所做的波动力学计算中，我们有三个 量子数n，l，m 和三个本征值方程： 能量也是量子化的。 主量子数n与电子的能量有关，具有相应能量的电子依次称为K，L，M，N，O，P，…主壳层的电子；角量子数l与电子的角动量有