2013年高中毕业年级第一次质量预测数学理解析.doc

2013年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案 选择题 BDCCD BAABC DA 填空题 13.； 14.； 15.； 16.. 三、解答题 17．解：⑴由正弦定理得，――――2分 在中，， ，又， ，注意到．―――――6分 ⑵，――――8分 由余弦定理得， 当且仅当时，“＝”成立， 为所求． ――――12分 18．解：⑴设第组的频率为， 则由频率分布直方图知 所以成绩在260分以上的同学的概率， 故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人． ――――－4分 ⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙，且甲的成绩在270分以上， 记事件分别表示甲、乙、丙获得类资格的事件， 则，，――――6分 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ――――10分 ．――――12分 19．解：⑴为棱的中点．证明如下： 取的中点，连结，则由中位线定理得 ，且 所以，从而四边形是平行四边形， 又平面，平面， 故为棱的中点时，．――――4分 ⑵在平面内作于点， ， 又底面，即就是四棱锥的高． 由知，点和重合时， 四棱锥的体积取最大值．――――8分 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，， ，， 设平面的法向量为， 由得即 所以，可取．同理可以求得平面的一个法向量 故平面与平面夹角的余弦值为――――12分 20．解：⑴由题意， 注意到，所以， 所以， 即所求椭圆方程为．――――4分 ⑵存在这样的点符合题意．――――－5分 设线段的中点为，，直线的斜率为， 注意到，则直线的方程为， 由消得， 由求根公式得： 所以，故， 又点在直线上，所以.―――――8分 由可得， 即，所以，――――10分 整理得， 所以在线段上存在点符合题意，其中．――――12分 21．解：⑴由题意，函数的定义域为，，―――1分 当时，注意到，所以， 即函数的增区间为，无减区间； ―――2分 当时，， 由，得， 此方程的两根， 其中，注意到， 所以， ， 即函数的增区间为，减区间为， 综上，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为， 其中．―－6分 ⑵证明：当时，由⑴知，函数在上为减函数，――7分 则当时，，即， 令，则， 即， 所以，―――10分 又．――――12分 22． 证明：⑴连接， 是⊙的直径， ， ， 又， ， 四点共圆．――――5分 ⑵ 又因为，所以． ―――10分 23．解：⑴曲线的普通方程为， 即，化为极坐标方程是．――――5分 ⑵直线的直角坐标方程为， 由得直线与曲线C的交点坐标为， 所以弦长．――――10分 24．解：⑴原不等式可化为， 依题意，当时，则无解， 当时，则所以， 当时，则所以， 综上所述:原不等式的解集为． ――――5分 ⑵原不等式可化为， 因为，所以， 即， 故对恒成立， 当时，的最大值，的最小值为2， 所以为的取值范围为1．――――10分