中国石油大学华东线性代数第1章-行列式讲义.ppt

* 例1-5 计算 行列式： 解 加边法 箭形 行列式 * 注：此行列式也称为三对角行列式. 解 按第一列展开，有 例1-6 计算 * 于是，有 由于 所以 * 注：此行列式也称为双对角行列式. 解 按第一行展开，有 例1-7 计算 * 以此作递推公式，可得 * 引入 用消元法解二元线性方程组 6、克莱姆法则 * 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. * 对于线性方程 组 来说，满足一定的条件，它的解可用 n 阶行列式表示，这便是克莱姆法则. * 那么，方程组（4）有唯一解 其中 如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即 克莱姆法则 * 定理6 如果线性方程组（4）的系数行列式 D≠0，则（4）一定有解，且解是唯一的. 克莱姆法则在理论上十分重要. 定理7 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0，则它只有零解. 定理7/ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 D=0 . * 例1 用克拉默则解方程组 解 * * * 1 1、已知多项式 则 的次数至多是 . 2、方程 的全部根是 . * * * * 6. 计算行列式 （提示：第二行乘以(-1)加到其他各行上，再按第一行展开.） （提示：第一行乘以(-1)加到其他各行上） * 7. 如果 n 次多项式 对 n+1个不同的 值都是零, 则此多项式恒等于零. 证明： 设此多项式的 n+1个不同的根为 ，即有 * 视 为未知量，其系数行列式是一个 n+1 阶的范德蒙行列式： 而由于 互不相等，故得此系 数行列式不等于零，由克莱姆法则知，一定有 ，即多项式恒为零. * 例8 证明 * 证明 * * 通常把各行（或各列）元素之和相等的行列式叫做 典型字母行列式. 如： 都是典型字母行列式，你能很快说出它们的结果吗？ * * Can You Answer Them? 24 1.在6 阶行列式中， 的项应 带什么符号？ ( + ) * * 例如 4、余子式与代数余子式 * 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 * 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 * 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时 * 得 * 得 * * 中的余子式 * 故得 于是有 * 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 5、行列式按行（列）展开法则 * * 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 * 同理 相同 * 关于代数余子式的重要性质 * 例1 * * 证 用数学归纳法 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 * * n-1阶范德蒙德行列式 * 例1-1. 设 ， 0 . -28 解2）虽然可以直接计算，但如下方法更加简单. 解1）由代数余子式的重要性质即可知； * 构造行列式 另一方面，容易计算 M 的值， M 与 D 的区别仅仅是第四行元素，因元素的余子式与 该元素所在行（列）的元素无关，因而 M 与 D 的第四 行元素的余子式对应相同，将 M 按第四行展开，得 * * 例1-3 计算行列式 解：按照其特点，得 * 例1-4 计算行列式 解法 1 （递推法）按最后一行拆项，建立递推公式 * * 解法 2 （加边法） * 评注：加边法主要用于主对角线上的元素不同，其余元素相同的行列式. 例如： * 解法 3 （提取公因子） （此为典型字 母行列式） * 线 性 代 数 主讲：吕巍然 教材：线性代数（第三版）， 中国石油大学出版社 * 一、学习必要性 二、课程特点 1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门 重要的基础理论课； 2、线性代数