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* 例1-5 计算 行列式: 解 加边法 箭形 行列式 * 注:此行列式也称为三对角行列式. 解 按第一列展开,有 例1-6 计算 * 于是,有 由于 所以 * 注:此行列式也称为双对角行列式. 解 按第一行展开,有 例1-7 计算 * 以此作递推公式,可得 * 引入 用消元法解二元线性方程组 6、克莱姆法则 * 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. * 对于线性方程 组 来说,满足一定的条件,它的解可用 n 阶行列式表示,这便是克莱姆法则. * 那么,方程组(4)有唯一解 其中 如果线性方程组(4)的系数行列式不等于零,即 克莱姆法则 * 定理6 如果线性方程组(4)的系数行列式 D≠0,则(4)一定有解,且解是唯一的. 克莱姆法则在理论上十分重要. 定理7 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0,则它只有零解. 定理7/ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式 D=0 . * 例1 用克拉默则解方程组 解 * * * 1 1、已知多项式 则 的次数至多是 . 2、方程 的全部根是 . * * * * 6. 计算行列式 (提示:第二行乘以(-1)加到其他各行上,再按第一行展开.) (提示:第一行乘以(-1)加到其他各行上) * 7. 如果 n 次多项式 对 n+1个不同的 值都是零, 则此多项式恒等于零. 证明: 设此多项式的 n+1个不同的根为 ,即有 * 视 为未知量,其系数行列式是一个 n+1 阶的范德蒙行列式: 而由于 互不相等,故得此系 数行列式不等于零,由克莱姆法则知,一定有 ,即多项式恒为零. * 例8 证明 * 证明 * * 通常把各行(或各列)元素之和相等的行列式叫做 典型字母行列式. 如: 都是典型字母行列式,你能很快说出它们的结果吗? * * Can You Answer Them? 24 1.在6 阶行列式中, 的项应 带什么符号? ( + ) * * 例如 4、余子式与代数余子式 * 在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式,记作 叫做元素 的代数余子式. 例如 * 引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 . 例如 * 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时 * 得 * 得 * * 中的余子式 * 故得 于是有 * 定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 证 5、行列式按行(列)展开法则 * * 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证 * 同理 相同 * 关于代数余子式的重要性质 * 例1 * * 证 用数学归纳法 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 * * n-1阶范德蒙德行列式 * 例1-1. 设 , 0 . -28 解2)虽然可以直接计算,但如下方法更加简单. 解1)由代数余子式的重要性质即可知; * 构造行列式 另一方面,容易计算 M 的值, M 与 D 的区别仅仅是第四行元素,因元素的余子式与 该元素所在行(列)的元素无关,因而 M 与 D 的第四 行元素的余子式对应相同,将 M 按第四行展开,得 * * 例1-3 计算行列式 解:按照其特点,得 * 例1-4 计算行列式 解法 1 (递推法)按最后一行拆项,建立递推公式 * * 解法 2 (加边法) * 评注:加边法主要用于主对角线上的元素不同,其余元素相同的行列式. 例如: * 解法 3 (提取公因子) (此为典型字 母行列式) * 线 性 代 数 主讲:吕巍然 教材:线性代数(第三版), 中国石油大学出版社 * 一、学习必要性 二、课程特点 1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门 重要的基础理论课; 2、线性代数
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