大一高等数学论文大一高等数论文.doc

20113564 胡骐薪 工商1112 微分方程的基本应用 微分方程是数学的重要分支, 用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律,这是微分方程应用的重要领域,也是其发展的动力.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤. 微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支,已有悠久的历史,早在17~18世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程【1,2】.随着科学的发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断获得成功,有力地推动了这些学科的发展,已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中,许多实际问题可以通过建立微分方程模型得以解决. 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律微分方程的理论逐步完善只要列出相应的微分方程解方程的方法微分方程也就成了最有生命力的数学分支大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解当然，这个近似解的精确程度是比较高的现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就求这样的曲线,使得与(C)中每一条曲线的交角都是定角 . 设的方程为=.为了求,我们先来求出所对应满足的微分方程,也就是要求先求得, ,的关系式.条件告诉我们与（C）的曲线相交成定角,于是,可以想象,和必然应当与（C）中的曲线=及其切线的斜率有一个关系.事实上,当≠时,有 或 当=时,有 又因为在交点处,=,于是,如果我们能求得, ,的关系 采用分析法. 设=为（C）中任一条曲线,于是存在相应的C,使得 因为要求,y, 的关系,将上式对x求导,得 这样,将上两式联立,即由 消去C,就得到所应当满足的关系 这个关系称为曲线族（C）的微分方程. 于是,等角轨线（≠）的微分方程就是 而正交轨线的微分方程为 为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用,而仍用y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了. 为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可. 例1 求直线束的等角轨线和正交轨线. 解 首先求直线束的微分方程. 将对求导,得=C,由 消去C,就得到的微分方程 当≠时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为 或 及 即 积分后得到 或 如果=,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为 即 或 故正交轨线为同心圆族. 例2 抛物线的光学问题 在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线, 由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线,如图, 以旋转轴为Ox轴,光源放在原点O(0,0).设的方程为y=y(x,y).由O点发出的光线经镜面反射后平行于Ox轴.设M(x,y)为上任一点,光线OM经反射后为MR.MT为在M点的切线,MN为在M点的法线,根据光线的反射定律,有 ∠OMN=∠NMR 从而 tan∠OMN=tan∠NMR 因为MT的斜率为,MN的斜率为-,所以由正切公式,有