中国石油大学华东线性代数第3章-向量组讲义.ppt

* * 复习 * 定理8 矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，也等于A的 列向量组的秩. 证 设 A 为m×n矩阵，当R(A)=0时，A=O，结论自然 成立，故下设R(A)0. 记 A 的列向量为 由矩阵秩的定义，A 中存在一个 r 阶子式 Dr≠0, 由定理 6知，Dr 所在的 r 列线性无关，又由于A中所 有 r+1 阶子式均为 0, 知 A 中任意 r+1个列向量线性 相关，因此 Dr 所在的 r 列就是 A 的列向量组的最大 无关组，所以 A 的列秩等于 r. 同理可证 A 的行秩也等于 r. * 推论 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 Dr 是 A 的最高阶非零 子式，则 Dr 所在的 r 个行向量即是 A 的行向量组的一 个最大无关组； Dr 所在的 r 个列向量即是 A 的列向量 组的一个最大无关组. 例 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： 解题思路：法 1 从判别向量组的相关性入手. 法 2 构造矩阵，先求矩阵的秩. （矩阵的秩可用初等变换法求得） * 解法 1 易见 解法 2 易知，二阶子式 * 故知 R(A)=2， 问：能否取 其它的二阶 子式？ * 例 证 设 C=AB 特别，当 A可逆时，有 当 B可逆时，有 则知 C的行向量组可由B的行向量组线性表示; C的列向量组可由A的列向量组线性表示, 从而由定理7及三秩相等定理，知 R(C)≤R(B)，R(C)≤R(A) 故命题成立. * 定理 9 矩阵 A 经过初等行变换化为矩阵 B，则 A 、B 的行向量组之间等价，而 A、B 的 列向量组之间有 相同的线性组合关系. 本定理的证明略去, 但要注意此定理在解题中的应用. 1）求矩阵的秩； 2）求其列向量组的一个最大无关组， 3）将其余的列向量用此最大无关组线性表示. 例 设有矩阵A * （思考：从阶梯形B 和最简形 C 能了解原矩阵的什么信息？） 解 用初等行变换法可同时解决题中的几个问题， 其理论依据正是定理9. * 1）R(A)=R(B)=R(C)=3. 2）根据 B、C 的结构可知 B、C 的第 1、2、4 列线性无 关，由定理 9 知，A的第 1、2、4 列也线性无关，故 A 的第 1、2、4 三个列向量是 A 的列向量组的最大无 关组. * 3）为将A 的其它的列向量用最大无关组表示，记 则在A 中亦有 * 综上所述，我们有 * 1. 设有行向量组 解 考虑 Can You Answer Them? * 2 判断 1 若A组向量与B组向量等价，则A组与B组的线性 相关性相同. （×） 3 若矩阵A的行向量组与B的行向量组等价，则方 程组AX=0与BX=0同解. （√） （√） 2 若C=AB，则C的行向量组可由B的行向量组线性 表示, C的列向量组可由A的列向量组线性表示. Can You Answer Them? * §3.4 向量空间 本节将讨论： 向量空间的定义 向量空间的基和维数的概念 用初等变换法验证一组向量是否构成向量空 间的基并将其余向量用这组基线性表示 * 所谓运算封闭，是指 1. 定义（向量空间） 设V为 n 维向量的集合，如果集合V非空，且集 合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V为向量空间。 * 2）定义中也指明了验证一个向量集合是否为向量 空间的步骤： ① V非空；② V关于向量加法封闭； ③ V关于 向量数乘封闭. 注 1）n 维向量的全体 Rn 是向量空间. 1. 定义（向量空间） 设V为 n 维向量的集合，如果集合V非空，且集 合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V为向量空间. * 例 1 是一向量空间6-----这就是解析几何中讨论的三维欧氏 空间 R3. 例 2 验证 是一向量空间. * 解 因为零向量 0∈ V1 ，故V1 非空. 综上知， V1 是一向量空间. 又设 设 □ * 解 以下说明 V2 对加法运算不封闭. 所以 V2 不是向量空间. 设 □ 例 3 说明 不是一向量空间. * 结论 设 是两个已知的 n 维向量，则