- 1、本文档共92页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
* * 复习 * 定理8 矩阵A的秩等于A的行向量组的秩,也等于A的 列向量组的秩. 证 设 A 为m×n矩阵,当R(A)=0时,A=O,结论自然 成立,故下设R(A)0. 记 A 的列向量为 由矩阵秩的定义,A 中存在一个 r 阶子式 Dr≠0, 由定理 6知,Dr 所在的 r 列线性无关,又由于A中所 有 r+1 阶子式均为 0, 知 A 中任意 r+1个列向量线性 相关,因此 Dr 所在的 r 列就是 A 的列向量组的最大 无关组,所以 A 的列秩等于 r. 同理可证 A 的行秩也等于 r. * 推论 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 Dr 是 A 的最高阶非零 子式,则 Dr 所在的 r 个行向量即是 A 的行向量组的一 个最大无关组; Dr 所在的 r 个列向量即是 A 的列向量 组的一个最大无关组. 例 求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: 解题思路:法 1 从判别向量组的相关性入手. 法 2 构造矩阵,先求矩阵的秩. (矩阵的秩可用初等变换法求得) * 解法 1 易见 解法 2 易知,二阶子式 * 故知 R(A)=2, 问:能否取 其它的二阶 子式? * 例 证 设 C=AB 特别,当 A可逆时,有 当 B可逆时,有 则知 C的行向量组可由B的行向量组线性表示; C的列向量组可由A的列向量组线性表示, 从而由定理7及三秩相等定理,知 R(C)≤R(B),R(C)≤R(A) 故命题成立. * 定理 9 矩阵 A 经过初等行变换化为矩阵 B,则 A 、B 的行向量组之间等价,而 A、B 的 列向量组之间有 相同的线性组合关系. 本定理的证明略去, 但要注意此定理在解题中的应用. 1)求矩阵的秩; 2)求其列向量组的一个最大无关组, 3)将其余的列向量用此最大无关组线性表示. 例 设有矩阵A * (思考:从阶梯形B 和最简形 C 能了解原矩阵的什么信息?) 解 用初等行变换法可同时解决题中的几个问题, 其理论依据正是定理9. * 1)R(A)=R(B)=R(C)=3. 2)根据 B、C 的结构可知 B、C 的第 1、2、4 列线性无 关,由定理 9 知,A的第 1、2、4 列也线性无关,故 A 的第 1、2、4 三个列向量是 A 的列向量组的最大无 关组. * 3)为将A 的其它的列向量用最大无关组表示,记 则在A 中亦有 * 综上所述,我们有 * 1. 设有行向量组 解 考虑 Can You Answer Them? * 2 判断 1 若A组向量与B组向量等价,则A组与B组的线性 相关性相同. (×) 3 若矩阵A的行向量组与B的行向量组等价,则方 程组AX=0与BX=0同解. (√) (√) 2 若C=AB,则C的行向量组可由B的行向量组线性 表示, C的列向量组可由A的列向量组线性表示. Can You Answer Them? * §3.4 向量空间 本节将讨论: 向量空间的定义 向量空间的基和维数的概念 用初等变换法验证一组向量是否构成向量空 间的基并将其余向量用这组基线性表示 * 所谓运算封闭,是指 1. 定义(向量空间) 设V为 n 维向量的集合,如果集合V非空,且集 合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合 V为向量空间。 * 2)定义中也指明了验证一个向量集合是否为向量 空间的步骤: ① V非空;② V关于向量加法封闭; ③ V关于 向量数乘封闭. 注 1)n 维向量的全体 Rn 是向量空间. 1. 定义(向量空间) 设V为 n 维向量的集合,如果集合V非空,且集 合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合 V为向量空间. * 例 1 是一向量空间6-----这就是解析几何中讨论的三维欧氏 空间 R3. 例 2 验证 是一向量空间. * 解 因为零向量 0∈ V1 ,故V1 非空. 综上知, V1 是一向量空间. 又设 设 □ * 解 以下说明 V2 对加法运算不封闭. 所以 V2 不是向量空间. 设 □ 例 3 说明 不是一向量空间. * 结论 设 是两个已知的 n 维向量,则
您可能关注的文档
- 人保寿险贷款借款人意外伤害保险(新标准版)条款综述.doc
- 人力二级复习题纲(超级全)综述.docx
- 人力资源(一)自考第七章_员工培训综述.ppt
- 人力一季度总结综述.ppt
- 第三章展览营销分解.ppt
- 第三章账户和复式记账分解.ppt
- 第三章褶皱控矿分解.ppt
- 人力资源五年战略规划综述.doc
- 人力资源二级绩效管理综述.ppt
- 人力资源全套管理制度综述.doc
- 2023-2024学年广东省深圳市龙岗区高二(上)期末物理试卷(含答案).pdf
- 2023-2024学年贵州省贵阳市普通中学高一(下)期末物理试卷(含答案).pdf
- 21.《大自然的声音》课件(共45张PPT).pptx
- 2023年江西省吉安市吉安县小升初数学试卷(含答案).pdf
- 2024-2025学年广东省清远市九校联考高一(上)期中物理试卷(含答案).pdf
- 广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试语文试题.pdf
- 2024-2025学年语文六年级上册第4单元-单元素养测试(含答案).pdf
- 2024-2025学年重庆八中高三(上)月考物理试卷(10月份)(含答案).pdf
- 安徽省安庆市潜山市北片学校联考2024-2025学年七年级上学期期中生物学试题(含答案).pdf
- 贵州省部分校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案).pdf
文档评论(0)