中国石油大学华东线性代数第5章-相似矩阵和二次型讲义.ppt

* 解 与二次型对应的矩阵为 标准形所对应的矩阵为 例 （P137第9题）已知二次型 ，通过正交变换将 求参数 a 及所用的正交变换. 变为 * 从而 ，特征值为1，2，5. 由 得特征向量 又记 由 得特征 单位化后的向量记为 则所求的正 交变换为 由 得特征向量 向量 □ * * * * * 称只含平方项的二次型，如 于是，有 为二次型的标准形. * 二次型的矩阵形式表示 记 则二次型可以记为 , 验证如下： * * ⑴ 矩阵A是实的对称阵； 易知，在上述记法下： 称对称阵A为二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对 称阵A的二次型，A的秩就叫做二次型 f 的秩. ⑵ 实二次型与实对称阵之间是一一对应的. * 解 例１ 注意：这种习题虽然简单，但它是正确解题的前 提，千万不能写错. * 可见，与标准形对 应的矩阵是对角阵 解 问： 与标准形 对应的矩阵是什么？此标准形用矩阵如何表示？ * 用矩阵表述，即寻求可逆变换 X=CY ，其中 为可逆阵，使二次型 化为标准形. 也即 化为标准形. 将二次型 寻求可逆的 线性变换 即 要讨论的问题是： * 证 定理9 任给可逆矩阵C，令 ，如果 A 为对称阵，则 B 亦为对称阵，且 由上可见：二次型化简，即 称满足此式 的矩阵A， B是合同的 的问题等价于：当实对称阵A给定后，如何求 一个可逆阵C，使得 成为对角阵. * 总有正交变换 ，使 化为标准形 其中 是 的矩阵 的特征值. 定理10 任给实二次型 在本章第四节，我们已经知道，对于任意实对称阵A， 一定有正交矩阵 P，使得 ，而对正交矩阵来 说 . 因此，可以借助于正交变换来将二次型化 简. 从而有 * 例（教材P124例11） ⑴ 写出二次型的矩阵A（一定是对称阵）； ⑵ 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； ⑶ 求各特征值对应的特征向量； ⑷ （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P； ⑸ 写出二次型的标准形及所用的正交变换. 注 此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必须掌 握，其解法步骤如下： 求一个正交变换把下列二次型化为标准形. * 解 二次型 的矩阵为 它的特征 多项式为 于是A的特征值为 对于 解方程组 * 得基础解系 单位化得 对于 解方程组 可得正交的基础解系 * 单位化 即得 于是，正 交变换为 标准形为 * 例 化简二次型 §6 化二次型为标准形的其它方法 若不限于用正交变换，还可以有多种方法把二次型 化成标准形，这里仅介绍配方法. 其它方法请大家自 学. 用配方法可以分为两种情形： 1）二次型中含有平方项； 2）二次型中不含平方项. * 解 由于 中含变量 的平方项，故把含 的项归并 起来，配方可得 * 所用变换 矩阵为 即变换 为可逆变换. * 代入可得 再配方，得 故令 解 在 中不含平方项，由于含有 乘积项， * 即有 所用的变换矩阵为 问：能否继续 化简此二次型？ * §7 正定二次型 试回答下列问题： ⒈ 二次型的标准形是否唯一？ ⒉ 用正交变换法得到的标准形是否唯一？ ⒊ 标准形中所含 (非零)的项数是否确定？ 答 1 .不唯一. 2 .除顺序可能不同外，唯一. 3. 确定，为二次型的秩. * 则 中正数的个数与 中正数的个 数相等. 定理11 （惯性定理） 设有二次型 ，它的秩为 ，有两个 实的可逆变换 * 若设 中正数的个数为 p,则负数的个数为 r-p. 于是 f 的标准形可写为： 再作线性变换： 则上述标准形又变成： 称此式为二次型 的规范形. 称p为二次型的正惯性 指数. * 问下列二次型正定性如何？ 由定理11可引出一个较为重要的概念，即正定性. （非负定） （正定） 定义 正定（非负定）二次型， 并称对称阵A是正定（非负定）的， 记作A0; 如果对于任何 都有 则称 f 为负定二次型，并称A 是负定的，记作 * 推论 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全 为