离散数学英文DMAv7-11.1-2解读.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [定义]最优树：对于确定的权ｗ1，ｗ2，…，ｗt，若Ｔ中取到合适的ｌ1，ｌ2，…，ｌt，使ｗ（Ｔ）达到最小，则称Ｔ为关于权ｗ1，ｗ2，…，ｗt的最优树。 注：如果对ｗ1，ｗ2，…，ｗt作出一棵最优的二元有序加权树，则从根到叶的路径上的权序列集合就是前缀码。 （2）若ｗ1＋ｗ2，ｗ3，ｗ4，…，ｗt的最优树是Ｔ’已求出，则用树 代替叶ｗ1＋ｗ2，即得到最优树T,(关于权ｗ1，ｗ2，…，ｗt )。 Ｈｕｆｆｍａｎ．Ｄ·Ａ算法： 设ｗ1≤ｗ2≤ｗ3…≤ｗt为二元有序树的叶的权，  （1）ｔ＝２，关于ｗ1，ｗ2的最优树为 ，是显然的。 例：构造关于权｛２，３，４，４，５，５，７｝的最优树。 １２ １８ 解： （1）｛２，３，４，４，５，５，７｝ （2）｛４，４，５，５，５，７｝ （3）｛５，５，５，７，８｝ （4）｛５，７，８，１０｝ （5）｛８，１０，１２｝ （6）｛１２，１８｝ （7）倒推回去： 另 外 构 造 ： 作业 §11.1 – 4, 16, 20, 28, 44 §11.2 – 6, 16, 30 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [定理]： 若Ｔ为ｍ元树，则（ｍ－１）ｉ≥ｔ－１，其中ｉ为枝点数，ｔ为叶数。 例：一台三地址计算机，用一个加法指令可求三个数之和，现要计算１２个数之和，至少要几次加法指令？ 解: （ｍ－１）ｉ≥ｔ－１ （３－１）ｉ≥１２－１＝１１ ｉ≥11/2＝５．５ i=6,但这种树不唯一，见图示。 balanced A rooted m-ary tree of height h is balanced if all leaves are at levels h or h-1. §11.2: Applications of Trees Binary search trees Decision trees Minimum comparisons in sorting algorithms 8 硬币问题 Prefix codes Huffman coding Game trees Binary search trees Form a binary tree for the words: Mathematics,physics,geography,zoology,meteorology,geology,psychology,and chemistry (using alphabetical order) Decision trees Minimum comparisons in sorting algorithms 8 硬币问题 前缀码/Prefix Codes 1. 计算机是用０和１序列来表示和存储信息。通讯编码也是这样处理的。 如２６个英文字母(a-z)，用v位则可表示 ２v,由于２4=16＜２６＜２5=32，故要用５位二进制才能区分２６个字母。 2. 是否能用不同位数的二进制数来表示信息，尽量缩短通讯时序列的长度。这是可行的，但要注意:如００表示Ａ，０１表示Ｂ，０００１表示ｚ，那么收到０００１是代表ＡＢ还是ｚ？ 怎样避免二义性？ [定义]前缀：ａ，ｂ，ｃ均为二进制序列，如果ｂ＝ａ并列ｃ，ｃ不是空序列，则称ａ是ｂ的前缀/prefix。即ａ是ｂ的前面一部分。 [定义] 前缀码：一个二进制序列集合，如果这些二进制序列互不为前缀，则称此集合为前缀码/prefix code。 例：二元有序加权树 每枝点左边对应权为0，右边对应权1，叶对应一个码（即每片叶都有一条从根到叶的路径，路径上的权排成序即为叶的码，也称作叶的名。 二元前缀码 设 是长为 的符号串, 均为该符号串的前缀，它们 的长度分别为 1,2, , -1。 称 为前缀码。 为一个符号 串集合,对于任意的 与 互不为前缀,则 出现0,1 两个 符号, 则称 为二 若符号串 中只 元前缀码。 √ √ √ × × 定理 任意一棵二叉树都可产生一 个前缀码。 定理 任何一个前缀码都对应一棵二叉树。 由于枝点才可能是叶的前缀，而枝点不对应一个码，故这样一棵树所有叶对应的码构成前缀