上海市虹口区2013年高三下学期二模数学(理)试卷.doc

虹口区2013年数学学科高考练习题(理科) （时间120分钟，满分150分） 2013.4 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 2、已知复数，则 ． 3、已知，则 ． 4、设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则 ． 5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为 ． 6、如果，则的最小值为 ． 7、数列的通项，前项和为，则 ． 8、设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于 ． 9、从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为，则的数学期望 ． 10、对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 11、在中，，，，则面积等于 ． 12、将边长为2的正方形沿对角线折起，以，，，为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ． 13、设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为 ． 14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、直线的倾斜角等于（ ） 16、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（ ） 17、若，，，如果有，，则值为（ ）． 0 1 18、正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（ ） 2． 3． 4． 5． 三、解答题（满分74分） 19、（本题满分12分）如图，平面，矩形的边长，，为的中点． （1）证明：； （2）如果，求异面直线与所成的角的大小． 20、（本题满分14分）在中，角，，所对的边长分别为， ，，向量，，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 21、（本题满分14分）已知复数，其中，，，是虚数单位，且，． （1）求数列，的通项公式； （2）求和：①；②． 22、（本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、． （1）当直线过点时，证明为定值； （2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、．设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由． 23、（本题满分18分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”． （1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围； （3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，． ① 证明： 当（）时，成立； ② 请再选一个与①不同的且大于1的整数， 证明：也成立． 虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理） 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、1； 7、7； 8、1； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、9； 14、或； 二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、； 16、A； 17、； 18、； 三、解答题（满分74分） 19、(12分) 解：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．……………………3分 由平面，得.由，，得平面．．…………6分 （2）取的中点，的中点，连、、、．， ，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小．………………8分 由，，，得，，，．异面直线与所成的角的大小为．…………12分 注：用向量解相应给分． 20、（14分）解：（1），，，，……………………5分 又，，，………………7分 （2），，，即…9分 ，即，当且仅当时等号成立．…12分 ，当时，．…………14分 21、（14分）解：（1），，． 由得，………………3分 数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以